Postgraduate Section 1 1006 - Ιστορικό εκδόσεων

Ktzuvara: /* Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση */

2026-03-29T20:50:14Z

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

← Παλαιότερη αναθεώρηση		Αναθεώρηση της 23:50, 29 Μαρτίου 2026
Γραμμή 159:		Γραμμή 159:
	! Οργάνωση Διδασκαλίας		! Οργάνωση Διδασκαλίας
	\|		\|
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable" style="width: 100%;"
	! Δραστηριότητα		! Δραστηριότητα
	! Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου		! Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου

Ktzuvara: /* Teaching and Learning Methods - Evaluation */

2026-03-29T20:49:58Z

Teaching and Learning Methods - Evaluation

← Παλαιότερη αναθεώρηση		Αναθεώρηση της 23:49, 29 Μαρτίου 2026
Γραμμή 331:		Γραμμή 331:
	! Teaching Methods		! Teaching Methods
	\|		\|
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable" style="width: 100%;"
	! Activity		! Activity
	! Semester Workload		! Semester Workload

Ktzuvara: /* Teaching and Learning Methods - Evaluation */

2026-03-29T20:41:32Z

Teaching and Learning Methods - Evaluation

← Παλαιότερη αναθεώρηση		Αναθεώρηση της 23:41, 29 Μαρτίου 2026
Γραμμή 336:		Γραμμή 336:
	\|-		\|-
	\| Lectures		\| Lectures
	\| 39		\| style="text-align: center;" \|39
	\|-		\|-
	\| Study and analysis of bibliography		\| Study and analysis of bibliography
	\| 78		\| style="text-align: center;" \|78
	\|-		\|-
	\| Preparation of assignments and interactive teaching		\| Preparation of assignments and interactive teaching
	\| 70.5		\| style="text-align: center;" \|70.5
	\|-		\|-
	\| Course total		\| Course total
	\| 187.5		\| style="text-align: center;" \|187.5
	\|}		\|}
	\|-		\|-

Ktzuvara: /* Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση */

2026-03-29T20:41:06Z

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

← Παλαιότερη αναθεώρηση		Αναθεώρηση της 23:41, 29 Μαρτίου 2026
Γραμμή 164:		Γραμμή 164:
	\|-		\|-
	\| Διαλέξεις		\| Διαλέξεις
	\| 39		\| style="text-align: center;" \|39
	\|-		\|-
	\| Αυτοτελής Μελέτη		\| Αυτοτελής Μελέτη
	\| 78		\| style="text-align: center;" \|78
	\|-		\|-
	\| Επίλυση Ασκήσεων-Εργασίες		\| Επίλυση Ασκήσεων-Εργασίες
	\| 70.5		\| style="text-align: center;" \|70.5
	\|-		\|-
	\| Σύνολο Μαθήματος		\| Σύνολο Μαθήματος
	\| 187.5		\| style="text-align: center;" \|187.5
	\|}		\|}
	\|-		\|-

Ktzuvara: /* Learning Outcomes */

2026-03-27T08:53:20Z

Learning Outcomes

← Παλαιότερη αναθεώρηση		Αναθεώρηση της 11:53, 27 Μαρτίου 2026
Γραμμή 243:		Γραμμή 243:
	! Learning outcomes		! Learning outcomes
	\| Using the Bloom Taxonomy. All the following sets are considered to be arbitrary subsets of an arbitrary Euclidean normed space of finite dimension.<br>		\| Using the Bloom Taxonomy. All the following sets are considered to be arbitrary subsets of an arbitrary Euclidean normed space of finite dimension.<br>
	Remembering:		<br/>Remembering:
	* The notion of the rectangle and the notion of the volume of a rectangle.		* The notion of the rectangle and the notion of the volume of a rectangle.
	* The notion of the outer measure.		* The notion of the outer measure.
Γραμμή 263:		Γραμμή 263:
	* The metric outer measures.		* The metric outer measures.
	* The notion of the pre-signed measure.		* The notion of the pre-signed measure.
	Comprehension:		<br/>Comprehension:
	* The Cantor set.		* The Cantor set.
	* Properties of the outer measure.		* Properties of the outer measure.
Γραμμή 288:		Γραμμή 288:
	* Integration in abstract measurable spaces.		* Integration in abstract measurable spaces.
	* Absolute continuity of measures.		* Absolute continuity of measures.
	Applying:		<br/>Applying:
	* Calculating the measure of a set.		* Calculating the measure of a set.
	* Finding examples of non-measurable sets.		* Finding examples of non-measurable sets.

Ktzuvara: /* Μαθησιακά Αποτελέσματα */

2026-03-27T08:52:45Z

Μαθησιακά Αποτελέσματα

← Παλαιότερη αναθεώρηση		Αναθεώρηση της 11:52, 27 Μαρτίου 2026
Γραμμή 86:		Γραμμή 86:
	* Τα μετρικά εξωτερικά μέτρα.		* Τα μετρικά εξωτερικά μέτρα.
	* Η έννοια του προσημασμένου μέτρου.		* Η έννοια του προσημασμένου μέτρου.
	Κατανόηση:		<br/>Κατανόηση:
	* Το σύνολο του Cantor.		* Το σύνολο του Cantor.
	* Ιδιότητες του εξωτερικού μέτρου.		* Ιδιότητες του εξωτερικού μέτρου.
Γραμμή 111:		Γραμμή 111:
	* Ολοκλήρωση σε αφηρημένους μετρήσιμους χώρους.		* Ολοκλήρωση σε αφηρημένους μετρήσιμους χώρους.
	* Απόλυ συνέχεια μέτρων.		* Απόλυ συνέχεια μέτρων.
	Εφαρμογή:		<br/>Εφαρμογή:
	* Υπολογισμός μέτρου συνόλου.		* Υπολογισμός μέτρου συνόλου.
	* Εύρεση παραδειγμάτων μη-μετρήσιμων συνόλων.		* Εύρεση παραδειγμάτων μη-μετρήσιμων συνόλων.

Ktzuvara στις 08:50, 27 Μαρτίου 2026

2026-03-27T08:50:57Z

Εμφάνιση αλλαγών

G.R.Chrysostomidis: Νέα σελίδα με '{{DISPLAYTITLE:{{FULLPAGENAME}}}}

#pills-gr|Ελληνικά

2026-03-09T07:19:01Z

Νέα σελίδα με '{{DISPLAYTITLE:<span style="position: absolute; clip: rect(1px 1px 1px 1px); clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px);">{{FULLPAGENAME}}</span>}} <ul class="nav nav-pills mb-2 justify-content-end" id="pills-tab-lang" role="tablist"> <li class="nav-item"><btn id="pills-gr-tab" data-toggle="pill" class="nav-link active" role="tab" aria-controls="pills-gr" aria-selected="true">#pills-gr|Ελληνικά</btn></li> <li class="nav-item"><btn id="pills-en-tab" data-toggle="pill"...'

Νέα σελίδα
{{DISPLAYTITLE:<span style="position: absolute; clip: rect(1px 1px 1px 1px); clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px);">{{FULLPAGENAME}}</span>}}

<ul class="nav nav-pills mb-2 justify-content-end" id="pills-tab-lang" role="tablist">
<li class="nav-item"><btn id="pills-gr-tab" data-toggle="pill" class="nav-link active" role="tab" aria-controls="pills-gr" aria-selected="true">#pills-gr|Ελληνικά</btn></li>
<li class="nav-item"><btn id="pills-en-tab" data-toggle="pill" class="nav-link" role="tab" aria-controls="pills-en" aria-selected="false">#pills-en|English</btn></li>
</ul>

<div class="tab-content text-center" id="pills-content">

<div id="pills-gr" class="tab-pane fade show active" role="tabpanel" aria-labelledby="pills-gr-tab" style="text-align:left;">

=== Γενικά ===

{| class="wikitable"
|-
! Σχολή
| Σχολή Θετικών Επιστημών
|-
! Τμήμα
| Τμήμα Μαθηματικών
|-
! Επίπεδο Σπουδών
| Μεταπτυχιακό
|-
! Κωδικός Μαθήματος
| AN7
|-
! Εξάμηνο
| 1
|-
! Τίτλος Μαθήματος
| ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ
|-
! Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες
| Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
|-
! [https://regulations.math.uoi.gr/index.php?title=Undergraduate_Department_Course_Types Τύπος Μαθήματος]
| Ειδικού υποβάθρου
|-
! Προαπαιτούμενα Μαθήματα
|
|-
! Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
|
* Γλώσσα διδασκαλίας στο πλαίσιο των διαλέξεων: Ελληνικά.
* Γλώσσα διδασκαλίας εκτός διαλέξεων: Ελληνικά και Αγγλικά.
* Γλώσσα εξετάσεων: Ελληνικά και Αγγλικά.
|-
! Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus
| Ναι
|-
! Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
| Δείτε το [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
|}

=== Μαθησιακά Αποτελέσματα ===

{| class="wikitable"
|-
! Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Σε όλα τα παρακάτω, τα σύνολα θεωρούνται ότι είναι τυχόντα υποσύνολα ενός τυχαίου ευκλείδειου σταθμητού χώρου πεπερασμένης διάστασης. Μαθησιακά αποτελέσματα με βάση την Ταξινόμηση κατά Bloom.
<br/>
Γνώση:
# Η έννοια του ορθογωνίου και του όγκου αυτού.
# Η έννοια του εξωτερικού μέτρου.
# Η έννοια του μέτρου Lebesgue.
# Η έννοια της σ-’Αλγεβρας.
# Το σύνολο Borel.
# Η έννοια της χαρακτηριστικής συνάρτησης, της κλιμακωτής συνάρτησης, της απλής συνάρτησης και της μετρήσιμης συνάρτησης.
# Η “σχεδόν παντού” ισχύς μιας ιδιότητας.
# Η έννοια του ολοκληρώματος Lebesgue.
# Ορισμός του χώρου L1 των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων.
# Η έννοια της απόλυτα συνεχούς συνάρτησης.
# Η έννοια της τοπικά ολοκληρώσιμης συνάρτησης.
# Η έννοια της πυκνότητας Lebesgue.
# Το σύνολο Lebesgue μιας τοπικά ολοκληρώσιμης συνάρτησης.
# Οι καλοί πυρήνες και οι προσεγγίσεις στην ταυτότητα.
# Η έννοια της συνάρτησης φραγμένης μεταβολής.
# Η έννοια των αφηρημένων μετρήσιμων χώρων.
# Τα Caratheodory μετρήσιμα σύνολα.
# Τα μετρικά εξωτερικά μέτρα.
# Η έννοια του προσημασμένου μέτρου.
Κατανόηση:
# Το σύνολο του Cantor.
# Ιδιότητες του εξωτερικού μέτρου.
# Ιδιότητες του μέτρου Lebesgue.
# Αμετάβλητο του μέτρου Lebesgue κατά μετατοπίσεις.
# Συνθήκες μετρησιμότητας συνόλων.
# Κατασκευή μη-μετρήσιμων συνόλων.
# Ιδιότητες μετρήσιμων συναρτήσεων.
# Προσέγγιση μετρήσιμων συναρτήσεων από απλές ή κλιμακωτές συναρτήσεις.
# Τρεις Αρχές του Littlewood.
# Ανισότητα Brunn - Minkowskii.
# Ιδιότητες ολοκληρώματος Lebesgue.
# Σχέση μεταξύ ολοκληρώματος Lebesgue και ολοκληρώματος Riemann.
# Λήμμα Fatou.
# Θεώρημα μονότονης σύγκλισης.
# Θεώρημα Riesz - Fischer.
# Αμετάβλητο του ολοκληρώματος Lebesgue κατά μετατοπίσεις.
# Θεώρημα Fubini.
# Σχέση μεταξύ ολοκληρώσιμης και μετρήσιμης συνάρτησης.
# Η μεγιστική συνάρτηση των Hardy - Littlewood.
# Ιδιότητες συναρτήσεων φραγμένης μεταβολής.
# Ιδιότητες απόλυτα συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
# Ιδιότητες των αφηρημένων μετρήσιμων χώρων.
# Ολοκλήρωση σε αφηρημένους μετρήσιμους χώρους.
# Απόλυ συνέχεια μέτρων.
Εφαρμογή:
# Υπολογισμός μέτρου συνόλου.
# Εύρεση παραδειγμάτων μη-μετρήσιμων συνόλων.
# Υπολογισμός ολοκληρώματος Lebesgue.
# Εύρεση μέσης τιμής συνάρτησης.
Αξιολόγηση: Διδασκαλία μαθημάτων προπτυχιακού επιπέδου.
|-
! Γενικές Ικανότητες
|
# Προαγωγή της δημιουργικής, αναλυτικής και επαγωγικής σκέψης.
# Είναι προαπαιτούμενο για την παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών.
# Αυτόνομη εργασία.
# Ομαδική εργασία.
# Λήψη αποφάσεων.
|}

=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===

Χώροι μέτρου, μέτρο Lebesgue. Mετρήσιμες συναρτήσεις και ολοκλήρωμα Lebesgue, Θεώρημα μονότονης και κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue, σύγκρισή του ολοκληρώματος Lebesgue με το ολοκλήρωμα Riemann. Μέτρα γινόμενα, Θεώρημα Fubini. Χώροι Lp. Προσημασμένα μέτρα, ανάλυση Hahn, Θεώρημα Radon-Nikodym. Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων.

=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===

{| class="wikitable"
|-
! Τρόπος Παράδοσης
|
# Διαλέξεις σε αμφιθέατρο.
# Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση Learning Management System.
# Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση forums για την εξάσκηση των φοιτητών στην επίλυση ασκήσεων και την κατανόηση της θεωρίας.
# Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση βιντεοσκοπήσεων.
|-
! Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
|
* Χρήση Learning Management System, σε συνδυασμό με File Sharing Platform και Blog Management System για
# τον διαμερισμό διδακτικού υλικού,
# την υποβολή εκ μέρους των φοιτητών εργασιών,
# την δημοσίευση ανακοινώσεων σχετικών με το μάθημα,
# τη διατήρηση αναλυτικού βαθμολογίου για τις ενδοεξαμηνιαίες δραστηριότητες
# την επικοινωνία με τους φοιτητές.
Χρήση Appointment Scheduling System για την οργάνωση των εκτός των διαλέξεων συναντήσεων των φοιτητών με τον διδάσκοντα.
* Χρήση Survey Web Application για την υποβολή ανώνυμης κριτικής σχετικά με το μάθημα.
* Χρήση Wiki Engine για την δημοσίευση εγχειριδίων σχετικά με τους κανονισμούς των εξετάσεων, τον τρόπο διεξαγωγής του μαθήματος, τον τρόπο βαθμολόγησης του μαθήματος και την παροχή οδηγιών σχετικά με την χρήση των διαδικτυακών εργαλείων που χρησιμοποιούνται στο μάθημα.
|-
! Οργάνωση Διδασκαλίας
|
{| class="wikitable"
! Δραστηριότητα
! Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
|-
| Διαλέξεις
| 39
|-
| Αυτοτελής Μελέτη
| 78
|-
| Επίλυση Ασκήσεων-Εργασίες
| 70.5
|-
| Σύνολο Μαθήματος
| 187.5
|}
|-
! Αξιολόγηση Φοιτητών
| Γλώσσα αξιολόγησης: Ελληνικά και Αγγλικά. Διαδικασία αξιολόγησης των φοιτητών:
# Απαλλακτικές εβδομαδιαίες διαλέξεις - προφορικές εξετάσεις των φοιτητών, σε συνδυασμό με εβδομαδιαίες γραπτές εργασίες.
# Σε κάθε περίπτωση, όλοι ανεξαιρέτως οι φοιτητές έχουν δικαίωμα συμμετοχής στην Εξεταστική Περίοδο που έπεται του τέλους του Εξαμήνου.
Όλα τα προαναφερθέντα, συμπεριλαμβανομένων όλων των σχετικών κριτηρίων, αναγράφονται λεπτομερώς στην ιστοσελίδα του μαθήματος. Γίνεται επεξήγηση τους, στα πλαίσια των διαλέξεων, κατά την αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Γίνονται ενημερώσεις και υπενθυμίσεις μέσω της ιστοσελίδας του μαθήματος κατά την αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Παρέχονται όσες διευκρινίσεις ζητηθούν μέσω email ή ιστοχώρων κοινωνικής δικτύωσης και των εφαρμογών τους.
|}

Δείτε την υπηρεσία [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Εύδοξος]. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:
</div>

<div id="pills-en" class="tab-pane fade" role="tabpanel" aria-labelledby="pills-en-tab" style="text-align:left;">

=== General ===

{| class="wikitable"
|-
! School
| School of Science
|-
! Academic Unit
| Department of Mathematics
|-
! Level of Studies
| Graduate
|-
! Course Code
| AN7
|-
! Semester
| 1
|-
! Course Title
| Measure Theory
|-
! Independent Teaching Activities
| Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5)
|-
! [https://regulations.math.uoi.gr/index.php?title=Undergraduate_Department_Course_Types Course Type]
| General Background
|-
! Prerequisite Courses
| -
|-
! Language of Instruction and Examinations
| Language of Instruction (lectures): Greek<br>Language of Instruction (activities other than lectures): Greek and English<br>Language of Examinations: Greek and English
|-
! Is the Course Offered to Erasmus Students
| Yes
|-
! Course Website (URL)
| See [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.
|}

=== Learning Outcomes ===

{| class="wikitable"
|-
! Learning outcomes
| Using the Bloom Taxonomy. All the following sets are considered to be arbitrary subsets of an arbitrary Euclidean normed space of finite dimension.<br>
Remembering:
# The notion of the rectangle and the notion of the volume of a rectangle.
# The notion of the outer measure.
# The notion of the Lebesgue measure.
# The notion of the σ-Algebra.
# The Borel set.
# The notion of the characteristic function, of the step function, of the simple function and of the measurable function.
# The “almost everywhere” validity of a property.
# The notion of the Lebesgue integral.
# Definition of the L1 space, of the integrable functions.
# The notion of the absolutely continuous function.
# The notion of the locally integrable function.
# The notion of the Lebesgue density.
# The Lebesgue set of a locally integrable function.
# Good kernels and approximations to the identity.
# The notion of the bounded variation function.
# The notion of abstract measurable spaces.
# The Caratheodory measurable sets.
# The metric outer measures.
# The notion of the pre-signed measure.
Comprehension:
# The Cantor set.
# Properties of the outer measure.
# Properties of the Lebesgue measure.
# Translation invariance property of the Lebesgue measure.
# Conditions under which sets are measurable.
# Construction of non-measurable sets.
# Properties of measurable functions.
# Approximation of measurable functions by simple or step functions.
# The three principles of Littlewood.
# Brunn – Minkowskii inequality.
# Properties of the Lebesgue integral.
# Relation between the Lebesgue integral and the Riemann integral.
# Fatou Lemma.
# Uniform convergence theorem.
# Riesz – Fischer theorem.
# Translation invariance property of the Lebesgue integral.
# Fubini theorem.
# Relation between integrable and measurable function.
# The Hardy - Littlewood maximal function.
# Properties of bounded variation functions.
# Properties of absolutely continuous and differentiable functions.
# Properties of abstract measurable spaces.
# Integration in abstract measurable spaces.
# Absolute continuity of measures.
Applying:
# Calculating the measure of a set.
# Finding examples of non-measurable sets.
# Calculating the Lebesgue integral.
# Finding the mean value of a function.
Evaluating: Teaching undergraduate courses.
|-
! General Competences
|
# Production of free, analytic and inductive thinking.
# Required for the production of new ideas.
# Working independently.
# Team work.
# Decision making.
|}

=== Syllabus ===

Measure spaces, Lebesgue measure, measurable functions and Lebesgue integral, Monotone convergence Theorem and Dominated convergence Theorem, relation between Riemann and Lebesgue integral. Product measures, Fubini Theorem. L^p spaces. Signed measures, Hahn decomposition, Radon-Nikodym Theorem. Convergence of sequences of measurable functions.

=== Teaching and Learning Methods - Evaluation ===

{| class="wikitable"
|-
! Delivery
|
# Lectures in class.
# Teaching is assisted by Learning Management System.
# Teaching is assisted by the use of online forums where students can participate in order to improve their problem solving skills, as well as their understanding of the theory they are taught.
# Teaching is assisted by the use of pre-recorded videos.
|-
! Use of Information and Communications Technology
|
# Use of Learning Management System, combined with File Sharing Platform as well as Blog Management System for distributing teaching material, submission of assignments, course announcements, gradebook keeping for all students evaluation procedures, and communicating with students.
# Use of Appointment Scheduling System for organising appointments between students and the teacher.
# Use of Survey Web Application for submitting anonymous evaluations regarding the teacher.
# Use of Wiki Engine for publishing manuals regarding the regulations applied at the exams processes, the way teaching is organized, the grading methods, as well as the use of the online tools used within the course.
|-
! Teaching Methods
|
{| class="wikitable"
! Activity
! Semester Workload
|-
| Lectures
| 39
|-
| Study and analysis of bibliography
| 78
|-
| Preparation of assignments and interactive teaching
| 70.5
|-
| Course total
| 187.5
|}
|-
! Student Performance Evaluation
|
Language of evaluation: Greek and English.<br>
Methods of evaluation:
# Weekly presentations - oral exams, combined with weekly written assignments.
# In any case, all students can participate in written exams at the end of the semester.
The aforementioned information along with all the required details are available through the course’s website. The information is explained in detail at the beginning of the semester, as well as, throughout the semester, during the lectures. Reminders are also posted at the beginning of the semester and throughout the semester, through the course’s website. Upon request, all the information is provided using email or social networks.
|}

See the official [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Eudoxus site]. Books and other resources, not provided by Eudoxus:
</div>

<div style="text-align:left;">
* ---
</div>
</div>