Undergraduate Elective 1062 - Ιστορικό εκδόσεων

G.R.Chrysostomidis στις 19:50, 3 Απριλίου 2026

2026-04-03T19:50:40Z

← Παλαιότερη αναθεώρηση		Αναθεώρηση της 22:50, 3 Απριλίου 2026
Γραμμή 3:		Γραμμή 3:
	<div class="tab-content text-center" id="pills-content">		<div class="tab-content text-center" id="pills-content">
	<div id="pills-gr" class="tab-pane fade show active" role="tabpanel" aria-labelledby="pills-gr-tab" style="text-align:left;">		<div id="pills-gr" class="tab-pane fade show active" role="tabpanel" aria-labelledby="pills-gr-tab" style="text-align:left;">

			<div align = center>
			== '''Μετροθεωρητική Θεωρία Πιθανοτήτων''' ==
			</div>


Γραμμή 34:		Γραμμή 38:
	\|-		\|-
	! Προαπαιτούμενα Μαθήματα		! Προαπαιτούμενα Μαθήματα
	\|		\|
	\|-		\|-
	! Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων		! Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
Γραμμή 91:		Γραμμή 95:
	\|-		\|-
	\| Διαλέξεις (13Χ3)		\| Διαλέξεις (13Χ3)
	\| 39		\| style="text-align: center;" \|39
	\|-		\|-
	\| Αυτοτελής Μελέτη		\| Αυτοτελής Μελέτη
	\| 78		\| style="text-align: center;" \|78
	\|-		\|-
	\| Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες		\| Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες
	\| 33		\| style="text-align: center;" \|33
	\|-		\|-
	\| Σύνολο Μαθήματος		\| Σύνολο Μαθήματος
	\| 150		\| style="text-align: center;" \|150
	\|}		\|}
	\|-		\|-
Γραμμή 113:		Γραμμή 117:

	<div id="pills-en" class="tab-pane fade" role="tabpanel" aria-labelledby="pills-en-tab" style="text-align:left;">		<div id="pills-en" class="tab-pane fade" role="tabpanel" aria-labelledby="pills-en-tab" style="text-align:left;">

			<div align = center>
			== '''Measure Theoretic Probability''' ==
			</div>


Γραμμή 200:		Γραμμή 208:
	\|-		\|-
	\| Lectures (13x3)		\| Lectures (13x3)
	\| 39		\| style="text-align: center;" \|39
	\|-		\|-
	\| Individual study		\| Individual study
	\| 78		\| style="text-align: center;" \|78
	\|-		\|-
	\| Exercises/projects		\| Exercises/projects
	\| 33		\| style="text-align: center;" \|33
	\|-		\|-
	\| Course total		\| Course total
	\| 150		\| style="text-align: center;" \|150
	\|}		\|}
	\|-		\|-

G.R.Chrysostomidis στις 10:44, 3 Απριλίου 2026

2026-04-03T10:44:18Z

← Παλαιότερη αναθεώρηση		Αναθεώρηση της 13:44, 3 Απριλίου 2026
Γραμμή 109:		Γραμμή 109:
	=== Συνιστώμενη Βιβλιογραφία ===		=== Συνιστώμενη Βιβλιογραφία ===

	Δείτε την υπηρεσία [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Εύδοξος]. ~~Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:~~		Δείτε την υπηρεσία [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Εύδοξος].
	</div>		</div>

Γραμμή 220:		Γραμμή 220:
	=== Attached Bibliography ===		=== Attached Bibliography ===

	See the official [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Eudoxus site]. ~~Books and other resources, not provided by Eudoxus:~~		See the official [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Eudoxus site].
	</div>		</div>

	<div style="text-align:left;">		<div style="text-align:left;">
	</div> </div>		</div> </div>
	* ---

Ktzuvara στις 16:52, 29 Μαρτίου 2026

2026-03-29T16:52:08Z

← Παλαιότερη αναθεώρηση		Αναθεώρηση της 19:52, 29 Μαρτίου 2026
Γραμμή 6:		Γραμμή 6:

	=== Γενικά ===		=== Γενικά ===

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|-		\|-
Γραμμή 45:		Γραμμή 46:
	\|}		\|}

			=== Μαθησιακά Αποτελέσματα ===

	~~=== Μαθησιακά Αποτελέσματα ===~~
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|-		\|-
Γραμμή 52:		Γραμμή 53:
	\|		\|
	Το αντικείμενο της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι η μελέτη φυσικών φαινομένων στα οποία υπεισέρχεται τυχαιότητα. Αντικείμενο του μαθήματος είναι η εισαγωγή των φοιτητών στην αυστηρά θεμελιωμένη Θεωρία Πιθανοτήτων και η απόδειξη των κεντρικότερων αποτελεσμάτων της σε γενικότητα κατάλληλη για το επίπεδο των προπτυχιακών σπουδών. Συγκεκριμένα μετά το τέλος του μαθήματος οι φοιτητές θα γνωρίζουν:		Το αντικείμενο της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι η μελέτη φυσικών φαινομένων στα οποία υπεισέρχεται τυχαιότητα. Αντικείμενο του μαθήματος είναι η εισαγωγή των φοιτητών στην αυστηρά θεμελιωμένη Θεωρία Πιθανοτήτων και η απόδειξη των κεντρικότερων αποτελεσμάτων της σε γενικότητα κατάλληλη για το επίπεδο των προπτυχιακών σπουδών. Συγκεκριμένα μετά το τέλος του μαθήματος οι φοιτητές θα γνωρίζουν:
	# Την αυστηρή θεμελίωση της Θεωρίας Πιθανοτήτων του Kolmogorov.		* Την αυστηρή θεμελίωση της Θεωρίας Πιθανοτήτων του Kolmogorov.
	# Την έννοια της στοχαστικής ανεξαρτησίας (σ)-αλγεβρών.		* Την έννοια της στοχαστικής ανεξαρτησίας (σ)-αλγεβρών.
	# Την απόδειξη του Νόμου των Μεγάλων Αριθμών για τετραγωνικά ολοκληρώσιμες ακολουθίες ανεξάρτητων και ισόνομων τ.μ.		* Την απόδειξη του Νόμου των Μεγάλων Αριθμών για τετραγωνικά ολοκληρώσιμες ακολουθίες ανεξάρτητων και ισόνομων τ.μ.
	# Τη δεσμευμένη μέση τιμή και ισορροπημένες διαδικασίες (martingales).		* Τη δεσμευμένη μέση τιμή και ισορροπημένες διαδικασίες (martingales).
	# Χαρακτηριστικές συναρτήσεις, ασθενή σύγκλιση και την απόδειξη του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος.		* Χαρακτηριστικές συναρτήσεις, ασθενή σύγκλιση και την απόδειξη του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος.
	\|-		\|-
	! Γενικές Ικανότητες		! Γενικές Ικανότητες
Γραμμή 65:		Γραμμή 66:
	* Προαγωγή αναλυτικής και συνθετικής σκέψης		* Προαγωγή αναλυτικής και συνθετικής σκέψης
	\|}		\|}


	=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===		=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===
Γραμμή 75:		Γραμμή 75:

	=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===		=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|-		\|-
Γραμμή 106:		Γραμμή 107:
	\|}		\|}

			=== Συνιστώμενη Βιβλιογραφία ===

	Δείτε την υπηρεσία [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Εύδοξος]. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:		Δείτε την υπηρεσία [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Εύδοξος]. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:
Γραμμή 114:		Γραμμή 116:

	=== General ===		=== General ===

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|-		\|-
Γραμμή 153:		Γραμμή 156:
	\|}		\|}

			=== Learning Outcomes ===

	~~=== Learning Outcomes ===~~
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|-		\|-
Γραμμή 172:		Γραμμή 175:
	* Creative, analytical and inductive thinking.		* Creative, analytical and inductive thinking.
	\|}		\|}


	=== Syllabus ===		=== Syllabus ===
Γραμμή 182:		Γραμμή 184:

	=== Teaching and Learning Methods - Evaluation ===		=== Teaching and Learning Methods - Evaluation ===

	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|-		\|-
Γραμμή 211:		Γραμμή 214:
	! Student Performance Evaluation		! Student Performance Evaluation
	\|		\|
	Greek or English		* Greek or English
	~~<br/>~~		* Weekly exercises, midterm exam, final written exam.
	Weekly exercises, midterm exam, final written exam.
	\|}		\|}

			=== Attached Bibliography ===

	~~=== Attached Bibliography ===~~
	See the official [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Eudoxus site]. Books and other resources, not provided by Eudoxus:		See the official [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Eudoxus site]. Books and other resources, not provided by Eudoxus:
	</div>		</div>

	<div style="text-align:left;">		<div style="text-align:left;">


	</div> </div>		</div> </div>
	* ---		* ---

Ktzuvara: /* Syllabus */

2026-03-27T22:43:57Z

Syllabus

← Παλαιότερη αναθεώρηση		Αναθεώρηση της 01:43, 28 Μαρτίου 2026
Γραμμή 175:		Γραμμή 175:

	=== Syllabus ===		=== Syllabus ===

			{\| class="wikitable" style="width: 100%;"
			\|
	Foundations of Probability theory: Probability Spaces, random variables and measurability, Borel σ-algebras, distribution of random variables, the π-λ theorem of Dynkin and equality of measures. Mean Value: Mean value as Lebesgue integral, L^p-spaces, image-measure, integration with respect to image measures, density functions as Radon-Nikodym derivatives, distribution functions. Markov-Chebyshev inequality, Jensen inequality. Moment generating functions, Chernoff bounds. Convergence in probability, pointwise convergence of random variables and convergence theorems. Stochastic independence 1: Stochastic independence of sets, σ-algebras and random variables. Criteria of independence. Independence and expectation, convolution and sums of independent variables. Borel-Cantelli lemmas and 0-1 laws of Kolmogorov. Laws of Large numbers: proof of the weak law of large numbers, proof of the strong law of large numbers. Weak convergence of random variables and empirical law of large numbers. Stochastic independence 2: Infinite product of probability spaces, construction of independent and identically distributed sequences of random variables with a given distribution. Proof of the interpretation of probability as relative frequency via the law of large numbers. Conditional expectation: Existence of Radon-Nikodym derivative, existence as projection, main properties and convergence theorems for conditional expectation, the disintegration theorem. Martingales: Filtrations, adapted sequences, definition of martingales and examples, stopping times, Doob's optional stopping theorem, the convergence theorem. Square integrable martingales, proof of the law of large numbers via martingales. Central Limit Theorem: Characteristic functions, Levy's convergence theorem for weak convergence, proof of the central limit theorem.		Foundations of Probability theory: Probability Spaces, random variables and measurability, Borel σ-algebras, distribution of random variables, the π-λ theorem of Dynkin and equality of measures. Mean Value: Mean value as Lebesgue integral, L^p-spaces, image-measure, integration with respect to image measures, density functions as Radon-Nikodym derivatives, distribution functions. Markov-Chebyshev inequality, Jensen inequality. Moment generating functions, Chernoff bounds. Convergence in probability, pointwise convergence of random variables and convergence theorems. Stochastic independence 1: Stochastic independence of sets, σ-algebras and random variables. Criteria of independence. Independence and expectation, convolution and sums of independent variables. Borel-Cantelli lemmas and 0-1 laws of Kolmogorov. Laws of Large numbers: proof of the weak law of large numbers, proof of the strong law of large numbers. Weak convergence of random variables and empirical law of large numbers. Stochastic independence 2: Infinite product of probability spaces, construction of independent and identically distributed sequences of random variables with a given distribution. Proof of the interpretation of probability as relative frequency via the law of large numbers. Conditional expectation: Existence of Radon-Nikodym derivative, existence as projection, main properties and convergence theorems for conditional expectation, the disintegration theorem. Martingales: Filtrations, adapted sequences, definition of martingales and examples, stopping times, Doob's optional stopping theorem, the convergence theorem. Square integrable martingales, proof of the law of large numbers via martingales. Central Limit Theorem: Characteristic functions, Levy's convergence theorem for weak convergence, proof of the central limit theorem.
			\|}


	=== Teaching and Learning Methods - Evaluation ===		=== Teaching and Learning Methods - Evaluation ===

Ktzuvara: /* Περιεχόμενο Μαθήματος */

2026-03-27T22:43:38Z

Περιεχόμενο Μαθήματος

← Παλαιότερη αναθεώρηση		Αναθεώρηση της 01:43, 28 Μαρτίου 2026
Γραμμή 68:		Γραμμή 68:

	=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===		=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===

			{\| class="wikitable" style="width: 100%;"
			\|
	Θεμελίωση Θεωρίας Πιθανοτήτων: Χώροι πιθανότητας, τυχαίες μεταβλητές ως μετρήσιμες συναρτήσεις, Borel (σ)-άλγεβρες, κατανομή τυχαίων μεταβλητών, το (π)-(λ) θεώρημα του Dynkin και ισότητα μέτρων. Μέση τιμή: Η μέση τιμή ως ολοκλήρωμα Lebesgue, Χώροι (L<sup>p</sup>), μέτρο εικόνα, ολοκλήρωση ως προς μέτρα εικόνα, η συνάρτηση πυκνότητας ως Radon-Nikodym παράγωγος της κατανομής, συναρτήσεις κατανομής. Ανισότητα Markov-Chebyshev, ανισότητα Jensen. Ροπογεννήτριες συναρτήσεις, φράγματα Chernoff. Κατά πιθανότητα και κατά σημείο σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών και θεωρήματα σύγκλισης. Στοχαστική ανεξαρτησία 1: Στοχαστική ανεξαρτησία συνόλων, (σ)-αλγεβρών και τυχαίων μεταβλητών, κριτήριο ανεξαρτησίας μέσω (π)-συστημάτων. Ανεξαρτησία και μέση τιμή, συνέλιξη και άθροισμα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. Τα λήμματα Borel-Cantelli και ο νόμος (0)-(1) του Kolmogorov. Νόμος των μεγάλων Αριθμών: Απόδειξη του ασθενούς νόμου των μεγάλων αριθμών, απόδειξη του ισχυρού νόμου των μεγάλων αριθμών για τετραγωνικά ολοκληρώσιμες τ.μ. Ασθενής σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών και κατανομών και εμπειρικός νόμος των μεγάλων αριθμών. Στοχαστική ανεξαρτησία 2: Άπειρο γινόμενο χώρων πιθανότητας, κατασκευές ανεξάρτητων και ισόνομων τ.μ. με δεδομένη κατανομή, απόδειξη της ερμηνείας της πιθανότητας ως σχετική συχνότητα μέσω του νόμου των μεγάλων αριθμών. Δεσμευμένη μέση τιμή: Ύπαρξη ως Radon-Nikodym παράγωγος, ύπαρξη ως προβολή, βασικές ιδιότητες και θεωρήματα σύγκλισης για τη δεσμευμένη μέση τιμή, το θεώρημα της διάσπασης. Ισόρροπες ακολουθίες (martingales): Διηθήσεις, προσαρμοσμένες ακολουθίες, ορισμός ισορροπημένων διαδικασιών και παραδείγματα, χρόνοι στάσης, θεώρημα επιλεκτικής στάσης του Doob, το θεώρημα σύγκλισης, τετραγωνικά ολοκληρώσιμες ισορροπημένες ακολουθίες, απόδειξη του νόμου των μεγάλων αριθμών μέσω ισόρροπων διαδικασιών. Κεντρικό Οριακό Θεώρημα: Χαρακτηριστικές συναρτήσεις, το θεώρημα σύγκλισης του Levy για την ασθενή σύγκλιση, απόδειξη του κεντρικού οριακού θεωρήματος.		Θεμελίωση Θεωρίας Πιθανοτήτων: Χώροι πιθανότητας, τυχαίες μεταβλητές ως μετρήσιμες συναρτήσεις, Borel (σ)-άλγεβρες, κατανομή τυχαίων μεταβλητών, το (π)-(λ) θεώρημα του Dynkin και ισότητα μέτρων. Μέση τιμή: Η μέση τιμή ως ολοκλήρωμα Lebesgue, Χώροι (L<sup>p</sup>), μέτρο εικόνα, ολοκλήρωση ως προς μέτρα εικόνα, η συνάρτηση πυκνότητας ως Radon-Nikodym παράγωγος της κατανομής, συναρτήσεις κατανομής. Ανισότητα Markov-Chebyshev, ανισότητα Jensen. Ροπογεννήτριες συναρτήσεις, φράγματα Chernoff. Κατά πιθανότητα και κατά σημείο σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών και θεωρήματα σύγκλισης. Στοχαστική ανεξαρτησία 1: Στοχαστική ανεξαρτησία συνόλων, (σ)-αλγεβρών και τυχαίων μεταβλητών, κριτήριο ανεξαρτησίας μέσω (π)-συστημάτων. Ανεξαρτησία και μέση τιμή, συνέλιξη και άθροισμα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. Τα λήμματα Borel-Cantelli και ο νόμος (0)-(1) του Kolmogorov. Νόμος των μεγάλων Αριθμών: Απόδειξη του ασθενούς νόμου των μεγάλων αριθμών, απόδειξη του ισχυρού νόμου των μεγάλων αριθμών για τετραγωνικά ολοκληρώσιμες τ.μ. Ασθενής σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών και κατανομών και εμπειρικός νόμος των μεγάλων αριθμών. Στοχαστική ανεξαρτησία 2: Άπειρο γινόμενο χώρων πιθανότητας, κατασκευές ανεξάρτητων και ισόνομων τ.μ. με δεδομένη κατανομή, απόδειξη της ερμηνείας της πιθανότητας ως σχετική συχνότητα μέσω του νόμου των μεγάλων αριθμών. Δεσμευμένη μέση τιμή: Ύπαρξη ως Radon-Nikodym παράγωγος, ύπαρξη ως προβολή, βασικές ιδιότητες και θεωρήματα σύγκλισης για τη δεσμευμένη μέση τιμή, το θεώρημα της διάσπασης. Ισόρροπες ακολουθίες (martingales): Διηθήσεις, προσαρμοσμένες ακολουθίες, ορισμός ισορροπημένων διαδικασιών και παραδείγματα, χρόνοι στάσης, θεώρημα επιλεκτικής στάσης του Doob, το θεώρημα σύγκλισης, τετραγωνικά ολοκληρώσιμες ισορροπημένες ακολουθίες, απόδειξη του νόμου των μεγάλων αριθμών μέσω ισόρροπων διαδικασιών. Κεντρικό Οριακό Θεώρημα: Χαρακτηριστικές συναρτήσεις, το θεώρημα σύγκλισης του Levy για την ασθενή σύγκλιση, απόδειξη του κεντρικού οριακού θεωρήματος.
			\|}


	=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===		=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===

G.R.Chrysostomidis: Νέα σελίδα με '{{DISPLAYTITLE:{{FULLPAGENAME}}}}

#pills-gr|Ελληνικά

2026-03-10T20:31:03Z

Νέα σελίδα με '{{DISPLAYTITLE:<span style="position: absolute; clip: rect(1px 1px 1px 1px); clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px);">{{FULLPAGENAME}}</span>}} <ul class="nav nav-pills mb-2 justify-content-end" id="pills-tab-lang" role="tablist"> <li class="nav-item"><btn id="pills-gr-tab" data-toggle="pill" class="nav-link active" role="tab" aria-controls="pills-gr" aria-selected="true">#pills-gr|Ελληνικά</btn></li> <li class="nav-item"><btn id="pills-en-tab" data-toggle="pill"...'

Νέα σελίδα
{{DISPLAYTITLE:<span style="position: absolute; clip: rect(1px 1px 1px 1px); clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px);">{{FULLPAGENAME}}</span>}}
<ul class="nav nav-pills mb-2 justify-content-end" id="pills-tab-lang" role="tablist"> <li class="nav-item"><btn id="pills-gr-tab" data-toggle="pill" class="nav-link active" role="tab" aria-controls="pills-gr" aria-selected="true">#pills-gr|Ελληνικά</btn></li> <li class="nav-item"><btn id="pills-en-tab" data-toggle="pill" class="nav-link" role="tab" aria-controls="pills-en" aria-selected="false">#pills-en|English</btn></li> </ul>
<div class="tab-content text-center" id="pills-content">
<div id="pills-gr" class="tab-pane fade show active" role="tabpanel" aria-labelledby="pills-gr-tab" style="text-align:left;">

=== Γενικά ===
{| class="wikitable"
|-
! Σχολή
| Σχολή Θετικών Επιστημών
|-
! Τμήμα
| Τμήμα Μαθηματικών
|-
! Επίπεδο Σπουδών
| Προπτυχιακό
|-
! Κωδικός Μαθήματος
| MAE717
|-
! Εξάμηνο
| 7
|-
! Τίτλος Μαθήματος
| Μετροθεωρητική Θεωρία Πιθανοτήτων
|-
! Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες
| Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
|-
! [https://regulations.math.uoi.gr/index.php?title=Undergraduate_Department_Course_Types Τύπος Μαθήματος]
| Ειδίκευσης
|-
! Προαπαιτούμενα Μαθήματα
|
|-
! Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
| Ελληνική
|-
! Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus
| Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
|-
! Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
| Δείτε το [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
|}

=== Μαθησιακά Αποτελέσματα ===
{| class="wikitable"
|-
! Μαθησιακά Αποτελέσματα
|
Το αντικείμενο της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι η μελέτη φυσικών φαινομένων στα οποία υπεισέρχεται τυχαιότητα. Αντικείμενο του μαθήματος είναι η εισαγωγή των φοιτητών στην αυστηρά θεμελιωμένη Θεωρία Πιθανοτήτων και η απόδειξη των κεντρικότερων αποτελεσμάτων της σε γενικότητα κατάλληλη για το επίπεδο των προπτυχιακών σπουδών. Συγκεκριμένα μετά το τέλος του μαθήματος οι φοιτητές θα γνωρίζουν:
# Την αυστηρή θεμελίωση της Θεωρίας Πιθανοτήτων του Kolmogorov.
# Την έννοια της στοχαστικής ανεξαρτησίας (σ)-αλγεβρών.
# Την απόδειξη του Νόμου των Μεγάλων Αριθμών για τετραγωνικά ολοκληρώσιμες ακολουθίες ανεξάρτητων και ισόνομων τ.μ.
# Τη δεσμευμένη μέση τιμή και ισορροπημένες διαδικασίες (martingales).
# Χαρακτηριστικές συναρτήσεις, ασθενή σύγκλιση και την απόδειξη του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος.
|-
! Γενικές Ικανότητες
|
* Αυτόνομη εργασία
* Ομαδική εργασία
* Προαγωγή δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης
* Προαγωγή αναλυτικής και συνθετικής σκέψης
|}

=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===
Θεμελίωση Θεωρίας Πιθανοτήτων: Χώροι πιθανότητας, τυχαίες μεταβλητές ως μετρήσιμες συναρτήσεις, Borel (σ)-άλγεβρες, κατανομή τυχαίων μεταβλητών, το (π)-(λ) θεώρημα του Dynkin και ισότητα μέτρων. Μέση τιμή: Η μέση τιμή ως ολοκλήρωμα Lebesgue, Χώροι (L<sup>p</sup>), μέτρο εικόνα, ολοκλήρωση ως προς μέτρα εικόνα, η συνάρτηση πυκνότητας ως Radon-Nikodym παράγωγος της κατανομής, συναρτήσεις κατανομής. Ανισότητα Markov-Chebyshev, ανισότητα Jensen. Ροπογεννήτριες συναρτήσεις, φράγματα Chernoff. Κατά πιθανότητα και κατά σημείο σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών και θεωρήματα σύγκλισης. Στοχαστική ανεξαρτησία 1: Στοχαστική ανεξαρτησία συνόλων, (σ)-αλγεβρών και τυχαίων μεταβλητών, κριτήριο ανεξαρτησίας μέσω (π)-συστημάτων. Ανεξαρτησία και μέση τιμή, συνέλιξη και άθροισμα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. Τα λήμματα Borel-Cantelli και ο νόμος (0)-(1) του Kolmogorov. Νόμος των μεγάλων Αριθμών: Απόδειξη του ασθενούς νόμου των μεγάλων αριθμών, απόδειξη του ισχυρού νόμου των μεγάλων αριθμών για τετραγωνικά ολοκληρώσιμες τ.μ. Ασθενής σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών και κατανομών και εμπειρικός νόμος των μεγάλων αριθμών. Στοχαστική ανεξαρτησία 2: Άπειρο γινόμενο χώρων πιθανότητας, κατασκευές ανεξάρτητων και ισόνομων τ.μ. με δεδομένη κατανομή, απόδειξη της ερμηνείας της πιθανότητας ως σχετική συχνότητα μέσω του νόμου των μεγάλων αριθμών. Δεσμευμένη μέση τιμή: Ύπαρξη ως Radon-Nikodym παράγωγος, ύπαρξη ως προβολή, βασικές ιδιότητες και θεωρήματα σύγκλισης για τη δεσμευμένη μέση τιμή, το θεώρημα της διάσπασης. Ισόρροπες ακολουθίες (martingales): Διηθήσεις, προσαρμοσμένες ακολουθίες, ορισμός ισορροπημένων διαδικασιών και παραδείγματα, χρόνοι στάσης, θεώρημα επιλεκτικής στάσης του Doob, το θεώρημα σύγκλισης, τετραγωνικά ολοκληρώσιμες ισορροπημένες ακολουθίες, απόδειξη του νόμου των μεγάλων αριθμών μέσω ισόρροπων διαδικασιών. Κεντρικό Οριακό Θεώρημα: Χαρακτηριστικές συναρτήσεις, το θεώρημα σύγκλισης του Levy για την ασθενή σύγκλιση, απόδειξη του κεντρικού οριακού θεωρήματος.

=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===
{| class="wikitable"
|-
! Τρόπος Παράδοσης
| Διαλέξεις
|-
! Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
| -
|-
! Οργάνωση Διδασκαλίας
|
{| class="wikitable"
! Δραστηριότητα
! Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
|-
| Διαλέξεις (13Χ3)
| 39
|-
| Αυτοτελής Μελέτη
| 78
|-
| Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες
| 33
|-
| Σύνολο Μαθήματος
| 150
|}
|-
! Αξιολόγηση Φοιτητών
| Η αξιολόγηση των φοιτητών θα γίνει με εβδομαδιαίες ασκήσεις, πρόοδο και τελική εξέταση.
|}

Δείτε την υπηρεσία [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Εύδοξος]. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:
</div>

<div id="pills-en" class="tab-pane fade" role="tabpanel" aria-labelledby="pills-en-tab" style="text-align:left;">

=== General ===
{| class="wikitable"
|-
! School
| School of Science
|-
! Academic Unit
| Department of Mathematics
|-
! Level of Studies
| Undergraduate
|-
! Course Code
| MAE717
|-
! Semester
| 5
|-
! Course Title
| Measure Theoretic Probability
|-
! Independent Teaching Activities
| Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 6)
|-
! [https://regulations.math.uoi.gr/index.php?title=Undergraduate_Department_Course_Types Course Type]
| Special background
|-
! Prerequisite Courses
| -
|-
! Language of Instruction and Examinations
| Greek
|-
! Is the Course Offered to Erasmus Students
| Yes (in English)
|-
! Course Website (URL)
| See [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.
|}

=== Learning Outcomes ===
{| class="wikitable"
|-
! Learning outcomes
|
The object of Probability Theory is the study of natural phenomena that are subject to randomness. The aim of this course is to introduce the students to the axiomatic development of probability theory of Kolmogorov in the context of measure theory and the rigorous proof of the central theorems of probability theory. After the end of the course the students will know:
* The axiomatic development of Probability Theory.
* The notion of stochastic independence of σ-algebras.
* The proof of the Law of Large numbers for square-integrable independent and identically distributed random variables.
* The notion of conditional expectation and martingales.
* Characteristic functions, weak convergence and the proof of the Central Limit Theorem.
|-
! General Competences
|
* Working independently.
* Working in groups.
* Creative, analytical and inductive thinking.
|}

=== Syllabus ===
Foundations of Probability theory: Probability Spaces, random variables and measurability, Borel σ-algebras, distribution of random variables, the π-λ theorem of Dynkin and equality of measures. Mean Value: Mean value as Lebesgue integral, L^p-spaces, image-measure, integration with respect to image measures, density functions as Radon-Nikodym derivatives, distribution functions. Markov-Chebyshev inequality, Jensen inequality. Moment generating functions, Chernoff bounds. Convergence in probability, pointwise convergence of random variables and convergence theorems. Stochastic independence 1: Stochastic independence of sets, σ-algebras and random variables. Criteria of independence. Independence and expectation, convolution and sums of independent variables. Borel-Cantelli lemmas and 0-1 laws of Kolmogorov. Laws of Large numbers: proof of the weak law of large numbers, proof of the strong law of large numbers. Weak convergence of random variables and empirical law of large numbers. Stochastic independence 2: Infinite product of probability spaces, construction of independent and identically distributed sequences of random variables with a given distribution. Proof of the interpretation of probability as relative frequency via the law of large numbers. Conditional expectation: Existence of Radon-Nikodym derivative, existence as projection, main properties and convergence theorems for conditional expectation, the disintegration theorem. Martingales: Filtrations, adapted sequences, definition of martingales and examples, stopping times, Doob's optional stopping theorem, the convergence theorem. Square integrable martingales, proof of the law of large numbers via martingales. Central Limit Theorem: Characteristic functions, Levy's convergence theorem for weak convergence, proof of the central limit theorem.

=== Teaching and Learning Methods - Evaluation ===
{| class="wikitable"
|-
! Delivery
| Face-to-face
|-
! Use of Information and Communications Technology
| -
|-
! Teaching Methods
|
{| class="wikitable"
! Activity
! Semester Workload
|-
| Lectures (13x3)
| 39
|-
| Individual study
| 78
|-
| Exercises/projects
| 33
|-
| Course total
| 150
|}
|-
! Student Performance Evaluation
|
Greek or English
<br/>
Weekly exercises, midterm exam, final written exam.
|}

=== Attached Bibliography ===
See the official [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Eudoxus site]. Books and other resources, not provided by Eudoxus:
</div>

<div style="text-align:left;">

</div> </div>
* ---