Undergraduate Compulsory 1016

• Ελληνικά
• English

Θεωρία Αριθμών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAY123
Εξάμηνο	1
Τίτλος Μαθήματος	Θεωρία Αριθμών
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 4, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Επιστημονικής Περιοχής
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Τρόπος Διεξαγωγής Μαθήματος	Δια ζώσης (100%)
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η μελέτη της δομής και των βασικών ιδιοτήτων του συνόλου των φυσικών αριθμών των φυσικών αριθμών, και γενικότερα του συνόλου των ακεραίων ή/και των ρητών αριθμών. Η θεμελιώδης έννοια μέσω της οποίας επιτυγχάνεται αυτή η μελέτη είναι η διαιρετότητα φυσικών αριθμών και η ανάλυση ενός φυσικού αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Οι κυριότερες από τις βασικές έννοιες και ιδέες οι οποίες μας επιτρέπουν τη κατανόηση της δομής και των θεμελιωδών ιδιοτήτων του συνόλου των φυσικών αριθμών, είναι οι εξής (Λέξεις-Κλειδιά του μαθήματος): Διαιρετότητα, πρώτοι αριθμοί, Ευκλείδειος αλγόριθμος, μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Ισοτιμίες και συστήματα γραμμικών ισοτιμιών, Kινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων. Aριθμητικές συναρτήσεις και αντιστροφή του Moebius. Συνάρτηση του Euler. Θεωρήματα Fermat, Euler και Wilson. Aρχικές ρίζες mod p. Θεωρία δεικτών και τετραγωνικά υπόλοιπα. Νόμος τετραγωνικής αντιστροφής. Εφαρμογές στα Κρυπτοσυστήματα. Θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε διάφορα θεωρήματα τα οποία αφορούν την δομή του συνόλου των ακεραίων αριθμών με βάση την έννοια της διαιρετότητας. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα αναλυθούν εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών σε άλλες επιστήμες, και ιδιαίτερα στην Κρυπτογραφία. Το μάθημα αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά αποτελέσματα, στις βασικές μεθόδους, και στα βασικά προβλήματα της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών, και δεν απαιτεί ιδιαίτερες γνώσεις από άλλα μαθήματα του προγράμματος σπουδών. Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα, να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων, και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς.

Γενικές Ικανότητες

Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο πτυχιούχος να αποκτήσει την ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων της Θεωρίας Αριθμών. Ερχόμενος ο πτυχιούχος για πρώτη φορά σε επαφή με έννοιες της Θεωρίας Αριθμών, οι οποίες έχουν σημαντικές εφαρμογές στην καθημερινή ζωή, προάγεται η δημιουργική και επαγωγική σκέψη του, και η ικανότητά του να εφαρμόζει αφηρημένες γνώσεις σε διάφορα πεδία.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Μιγαδικοί Αριθμοί. Διαιρετότητα. Iσοδυναμίες mod m. Kινέζικο Θεώρημα υπολοίπων. Aριθμητικές συναρτήσεις και αντιστροφή του Moebius. Θεωρήματα Fermat, Euler και Wilson. Aρχικές ρίζες mod p. Θεωρία δεικτών και τετραγωνικά υπόλοιπα. Εφαρμογές στην κρυπτογραφία.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Διδασκαλίας	Πρόσωπο με πρόσωπο.
Τρόπος και Συχνότητα Επικοινωνίας με Φοιτητές	Η επικοινωνία με τους φοιτητές γίνεται: Μέσω email. Δια ζώσης στο γραφείο. Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων. Η συχνότητα επικοινωνίας με τους φοιτητές καθορίζεται από τις ανάγκες των φοιτητών.
Διασφάλιση Τρόπου Επικοινωνίας Μεταξύ Φοιτητών	Συνέργεια στα πλαίσια της παράδοσης του μαθήματος.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Απαιτούμενος Τεχνολογικός Εξοπλισμός και Γνώσεις Τεχνολογίας	Δεν απαιτείται τεχνολογικός εξοπλισμός, καθώς παρέχεται. Δεν απαιτούνται εξειδικευμένες γνώσεις τεχνολογίας.
Πολιτική Μαθήματος για τη Λογοκλοπή και Εργαλεία Ελέγχου Λογοκλοπής	Η λογοκλοπή απαγορεύεται ρητά και τιμωρείται κλιμακούμενα, ανάλογα με την επανάληψη της χρήσης της. Ελέγχεται, δε, με σχετικά εργαλεία όπως το "Turnitin", που παρέχει η Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου.
Πολιτική Μαθήματος για τη Χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης	Επιτρέπεται η χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης κατόπιν άδειας από τον διδάσκοντα/τη διδάσκουσα.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις (13Χ4) 52 Αυτοτελής Μελέτη 104 Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες 31.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυση προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.

Number Theory

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Undergraduate
Course Code	MAY123
Semester	1
Course Title	Number Theory
Independent Teaching Activities	Lectures (Weekly Teaching Hours: 4, Credits: 7.5)
Course Type	General Background
Prerequisite Courses	-
Language of Instruction and Examinations	Greek, English
Mode of Course Delivery	Face-to-face (100%)
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes (in English)
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

The main purpose of the course is the study of the structure and basic properties of natural numbers, and more generally of integers. This study is based on the fundamental concept of divisibility of integers, and the (unique) factorization of a natural number into prime factors. The most important ideas, concepts and results that allow us to understand the structure and fundamental properties of all positive integers with respect to divisibility, are as follows (Keywords of course): Divisibility, prime numbers, Euclidean algorithm, greatest common divisor and least common multiple. Congruences and systems of congruences, Chinese remainder theorem. Arithmetical functions and Moebius inversion formula. Euler’s φ-function. Theorems of Fermat, Euler and Wilson. Primitive mod p roots. Theory of indices and quadratic residues. Law of quadratic reciprocity. Applications to cryptosystems. We will formulate and prove several theorems concerning the structure of all integers through the concept of divisibility. During the course will analyse applications of Number Theory to other sciences, and particularly to Cryptography. This course is an introduction to the basic results, the basic methods, and the basic problems of elementary number theory, and requires no special knowledge of other subjects of the curriculum. At the end of the course we expect the student to (a) have understood the definitions and basic theorems concerning the divisibility structure of the integers which are discussed in the course, (b) to have understood how they are applied in discrete examples, (c) to be able to apply the material in order to extract new elementary conclusions, and finally (d) to perform some (no so obvious) calculations.

General Competences

The course aims to enable the undergraduate student to acquire the ability to analyse and synthesize basic knowledge of the theory of numbers, to apply basic examples in other areas, and in particular to solve concrete problems concerning properties of numbers occurring in everyday life. The contact of the undergraduate student with the ideas and concepts of number theory, (a) promotes the creative, analytical and deductive thinking and the ability to work independently, (b) improves his critical thinking and his ability to apply abstract knowledge in various field.

Syllabus

Complex numbers. Divisibility. Congruences mod m. Chinese remainder theorem. Arithmetical functions and Moebius inversion formula. The theorems of Fermat, Euler and Wilson. Primitive roots mod p. The theory of indices and the Law of quadratic reciprocity. Applications to cryptography.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Mode of Instruction	Classroom (face-to-face).
Mode and Frequency of Communication with Students	Communication with students takes place through: Email. In-person meetings during office hours. During lectures. The frequency of communication with students is determined by their needs.
Ensuring Communication Among Students	Collaboration and interaction are encouraged within the context of course delivery.
Use of Information and Communications Technology	Teaching Material: Teaching material in electronic form available at the home page of the course. Communication with the students: Office hours for the students (questions and problem solving). Email correspondence Weekly updates of the homepage of the course.
Required Technological Equipment and Technology Skills	No technological equipment is required from students, as all necessary equipment is provided. No specialized technology skills are required.
Course Policy on Plagiarism and Plagiarism Detection Tools	Plagiarism is strictly prohibited and is subject to progressively stricter penalties in the event of repeated offenses. It is monitored using plagiarism detection tools such as Turnitin, which is provided by the University Library.
Course Policy on the Use of Artificial Intelligence	The use of Artificial Intelligence is permitted only with the prior approval of the instructor.
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures 52 Working independently 104 Exercises-Homeworks 31.5 Course total 187.5
Student Performance Evaluation	Final written exam in Greek (in case of Erasmus students, in English) which includes analysis of theoretical topics and resolving application problems.

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site.