Postgraduate Section 2 1007

• Ελληνικά
• English

Γεωμετρία Riemann

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	ΓΕ3
Εξάμηνο	2
Τίτλος Μαθήματος	Γεωμετρία Riemann
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Ειδικού Υπόβαθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα	-
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Τρόπος Διεξαγωγής Μαθήματος	Δια ζώσης (100%)
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η μελέτη των εννοιών της καμπυλότητας. Εισάγονται θεμελιώδεις έννοες και εργαλεία, όπως ο τανυστής καμπυλότητας, πεδία Jacobi, πλήρη πολυπτύγματα, μεταβολή του μήκους, ισομετρικές εμβαπτίσεις και θεωρήματα σύγκρισης. Επιπλέον, αναλύονται θεμελιώδη αποτελέσματα που αναδεικνύουν την αλληλεπίδραση γεωμετρίας και τοπολογίας, όπως τα θεωρήματα Hopf-Rinow, Cartan-Hadamard, Bonnet-Myers και Synge-Weinstein. Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, ο φοιτητής θα πρέπει να έχει κατανοήσει τις έννοιες, τους ορισμούς και τα κύρια θεωρήματα του μαθήματος. Επίσης, αναμένεται ο μεταπτυχιακός φοιτητής να είναι πλέον σε θέση να μελετήσει και να κατανοήσει ερευνητικά άρθρα στην περιοχή της Γεωμετρίας Riemann και της Γεωμετρικής Ανάλυσης.

Γενικές Ικανότητες

Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο φοιτητής να αποκτήσει ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων στη Γεωμετρία Riemann και Γεωμετρική Ανάλυση.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Τανυστής καμπυλότητας, καμπυλότητα τομής, καμπυλότητα Ricci, αριθμητική καμπυλότητα, το θεώρημα του Schur, πολυπτύγματα Einstein, πεδία Jacobi, πλήρη πολυπτύγματα, το θεώρημα Hopf-Rinow, το θεώρημα Cartan-Hadamard, το θεώρημα του Cartan και η ταξινόμηση των χώρων μορφής, πρώτη και δεύτερη μεταβολή του μήκους, το θεώρημα Bonnet-Myers, το θεώρημα Synge-Weinstein, συζυγή σημεία και σημεία διανομής, ισομετρικές εμβαπτίσεις, οι θεμελιώδεις εξισώσεις της θεωρίας υποπολυπτυγμάτων, θεωρήματα συγκρίσεως.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Διδασκαλίας	Πρόσωπο με πρόσωπο.
Τρόπος και Συχνότητα Επικοινωνίας με Φοιτητές	Η επικοινωνία με τους φοιτητές γίνεται: Μέσω email. Δια ζώσης στο γραφείο. Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων. Η συχνότητα επικοινωνίας με τους φοιτητές καθορίζεται από τις ανάγκες των φοιτητών.
Διασφάλιση Τρόπου Επικοινωνίας Μεταξύ Φοιτητών	Συνέργεια στα πλαίσια της παράδοσης του μαθήματος.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Απαιτούμενος Τεχνολογικός Εξοπλισμός και Γνώσεις Τεχνολογίας	Δεν απαιτείται τεχνολογικός εξοπλισμός, καθώς παρέχεται. Δεν απαιτούνται εξειδικευμένες γνώσεις τεχνολογίας.
Πολιτική Μαθήματος για τη Λογοκλοπή και Εργαλεία Ελέγχου Λογοκλοπής	Η λογοκλοπή απαγορεύεται ρητά και τιμωρείται κλιμακούμενα, ανάλογα με την επανάληψη της χρήσης της. Ελέγχεται, δε, με σχετικά εργαλεία όπως το "Turnitin", που παρέχει η Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου.
Πολιτική Μαθήματος για τη Χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης	Επιτρέπεται η χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης κατόπιν άδειας από τον διδάσκοντα/τη διδάσκουσα.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις 39 Αυτοτελής Μελέτη 78 Επίλυση Ασκήσεων-Εργασίες 70.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Εβδομαδιαίες εργασίες, παρουσιάσεις, γραπτές εξετάσεις στο τέλος των μαθημάτων στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.

Riemannian Geometry

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Graduate
Course Code	ΓΕ3
Semester	2
Course Title	Riemannian Geometry
Independent Teaching Activities	Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5)
Course Type	Special Background
Prerequisite Courses	-
Language of Instruction and Examinations	Greek
Mode of Course Delivery	Face-to-face (100%)
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes (in English)
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

The primary objective of the course is the study of the concepts of curvature. Fundamental notions and tools are introduced, such as the curvature tensor, Jacobi fields, complete manifolds, variation of length, isometric immersions, and comparison theorems. Furthermore, fundamental results highlighting the interplay between geometry and topology are analyzed, such as the Hopf-Rinow, Cartan-Hadamard, Bonnet-Myers and Synge-Weinstein theorems. Upon successful completion of the course, the student should be familiar with the concepts, definitions and main theorems of the course, and is expected to be capable of studying and comprehending research articles in the fields of Riemannian Geometry and Geometric Analysis.

General Competences

Work autonomously Work in teams Develop critical thinking skills.

Syllabus

Curvature tensor, sectional curvature, Ricci curvature, scalar curvature, Schur's theorem, Einstein manifolds, Jacobi fields, complete manifolds, the theorem of Hopf-Rinow, the theorem of Cartan-Hadamard, Cartan's theorem and the classification of space forms, first and second variation of length, the theorem of Bonnet-Myers, the theorem of Synge-Weinstein, conjugate and cut points, isometric immersions, the fundamental equations of submanifold theory, comparison theorems.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Mode of Instruction	Face-to-face.
Mode and Frequency of Communication with Students	Communication with students takes place through: Email. In-person meetings during office hours. During lectures. The frequency of communication with students is determined by their needs.
Ensuring Communication Among Students	Collaboration and interaction are encouraged within the context of course delivery.
Use of Information and Communications Technology	-
Required Technological Equipment and Technology Skills	No technological equipment is required from students, as all necessary equipment is provided. No specialized technology skills are required.
Course Policy on Plagiarism and Plagiarism Detection Tools	Plagiarism is strictly prohibited and is subject to progressively stricter penalties in the event of repeated offenses. It is monitored using plagiarism detection tools such as Turnitin, which is provided by the University Library.
Course Policy on the Use of Artificial Intelligence	The use of Artificial Intelligence is permitted only with the prior approval of the instructor.
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures 39 Autonomous Study 78 Solution of Exercises - Homeworks 70.5 Course total 187.5
Student Performance Evaluation	Written final examination, presentations of HomeWorks.

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site.