Postgraduate Section 4 1006

• Ελληνικά
• English

Αριθμητική Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων με Μερικές Παραγώγους

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	ΑΑ6
Εξάμηνο	2
Τίτλος Μαθήματος	Αριθμητική Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων με Μερικές Παραγώγους
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Ειδικού υποβάθρου, ανάπτυξη δεξιοτήτων
Προαπαιτούμενα Μαθήματα	-
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Τρόπος Διεξαγωγής Μαθήματος	Δια ζώσης (100%)
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα μπορούν να: εφαρμόζουν προηγμένες θεωρητικές τεχνικές της αριθμητικής ανάλυσης για την απόδειξη εκτιμήσεων σφάλματος για αριθμητικές μεθόδους για την προσέγγιση της λύσης ελλειπτικών προβλημάτων συνοριακών συνθηκών και παραβολικών προβλημάτων αρχικών τιμών και συνοριακών συνθηκών. επιδεικνύουν ανεξαρτησία στη χρήση ερευνητικού υλικού για την απόδειξη βασικών αποτελεσμάτων. υλοποιούν αριθμητικές μεθόδους χρησιμοποιώντας εξελιγμένο λογισμικό (Octave ή FEniCS) και κατασκευάζουν κατάλληλα αριθμητικά πειράματα με στόχο την επαλήθευση των αντίστοιχων θεωρητικών αποτελεσμάτων. αξιολογούν την ορθότητα των αριθμητικών αποτελεσμάτων χρησιμοποιώντας τόσο τη θεωρία των αριθμητικών μεθόδων όσο και τα αποτελέσματα των αντίστοιχων συνεχών προβλημάτων.

Γενικές Ικανότητες

Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών. Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις. Αυτόνομη εργασία. Λήψη αποφάσεων. Προαγωγή της αναλυτικής και συνθετικής σκέψης. Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης. Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Χώροι Hilbert, το θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, το θεώρημα των Lax-Milgram, το θεώρημα του Cea. Στοιχεία από τη θεωρία των χώρων Sobolev στη μία διάσταση, γενικευμένες παράγωγοι, ανισότητα των Poincare-Friedrichs. Η μεταβολική μορφή και η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για μονοδιάστατα και δυσδιάστατα ελλειπτικά προβλήματα συνοριακών τιμών. Εκ των προτέρων και εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος, αυτόματη επιλογή του διαμερισμού. Ημιδιακριτά και πλήρως διακριτά σχήματα για παραβολικά προβλήματα αρχικών τιμών και συνοριακών συνθηκών. Χρονική διακριτοποίηση με την άμεση και πεπλεγμένη μέθοδο του Euler και τη μέθοδο των Crank-Nicolson. Υλοποίηση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων στον υπολογιστή.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Πρόσωπο με πρόσωπο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών	Χρήση ταμπλέτας για την παράδοση διδασκαλίας. Οι σημειώσεις από την τάξη γίνονται διαθέσιμες σε μορφή pdf στο ecourse. Παροχή υλικού μελέτης μέσω του ecourse. Επικοινωνία με τους φοιτητές χρησιμοποιώντας e-mail, και τις πλατφόρμες ecourse και MS Teams. Χρήση λογισμικών πακέτων (Octave ή FEniCS) για την υλοποίηση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις 39 Αυτοτελής Μελέτη 70 Λύση Ασκήσεων 25 Εκπόνηση Εργασίας 35 Δημόσια Παρουσίαση 18.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Θεωρητικές ασκήσεις (βάρος 30%, κάλυψη των μαθησιακών αποτελεσμάτων 1-2) Εκπόνηση μελέτης, με χρήση LaTeX (βάρος 45%, κάλυψη των μαθησιακών αποτελεσμάτων 1-4) Δημόσια παρουσίαση, με χρήση Βeamer (βάρος 25%, κάλυψη των μαθησιακών αποτελεσμάτων 1-4)

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.

Numerical Solution of Partial Differential Equations

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Graduate
Course Code	AA6
Semester	2
Course Title	Numerical Solution of Partial Differential Equations
Independent Teaching Activities	Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5)
Course Type	Special background, skills development.
Prerequisite Courses	-
Language of Instruction and Examinations	Greek
Mode of Course Delivery	Face-to-face (100%)
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes (in English)
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

Upon successful completion of this course, students will be able to: apply advanced numerical analysis techniques to prove error estimates for numerical approximations of elliptic and parabolic problems. demonstrate independence in the use of research materials to prove key results. write FEM code in FEniCS or Octave and construct appropriate numerical experiments to verify theoretical results. evaluate the correctness of numerical results by comparing them with both the theory of numerical methods and the theory of continuous problems.

General Competences

Search for, analysis and synthesis of data and information, with the use of the necessary technology. Adapting to new situations. Working independently. Decision-making. Production of free, creative, and inductive thinking. Promotion of analytical and synthetic thinking. Working in an interdisciplinary environment.

Syllabus

Hilbert spaces, Riesz’s representation theorem, Lax-Milgram’s theorem, Cea’s theorem. Sobolev spaces, weak derivatives, Poincare-Friedrichs inequalities. Weak formulation and the Finite Element Method (FEM) for elliptic boundary value problems in 1D and 2D. A priori and a posteriori error estimates, adaptivity. Semi-discrete and fully-discrete schemes for parabolic equations. Temporal discretization with the Explicit and Implicit Euler methods, and the Crank-Nicolson method. Computer implementation of FEMs.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Delivery	Face-to-face
Use of Information and Communications Technology	Use of a tablet device to deliver teaching. Lecture materials in pdf-format are made available to students, for later review, on Moodle learning platform. Provision of study materials in Moodle e-learning platform. Use of online quizzes in Moodle platform, which aim to enhance student engagement and motivation in learning. Provision of model solutions for some exercises in podcast format. Communication with students through e-mails, Moodle platform and Microsoft teams. Use of sophisticated software (Octave or FEniCS) for the computer implementation of FEM.
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures 39 Study and analysis of bibliography 70 Worksheets 25 Project 35 Presentation 18.5 Course total 187.5
Student Performance Evaluation	Solution of worksheets (Weighting 30%, addressing learning outcomes 1-2) Project (Weighting 45%, addressing learning outcomes 1-4) Presentation (Weighting 25%, addressing learning outcomes 1-5)

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site.