Postgraduate Section 1 1005

• Ελληνικά
• English

Διαφορικές Εξισώσεις

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	ΑΝ5
Εξάμηνο	2
Τίτλος Μαθήματος	Διαφορικές Εξισώσεις
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Ειδίκευσης
Προαπαιτούμενα Μαθήματα	Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις, Απειροστικοί Λογισμοί Ι και ΙΙ, Πραγματική Ανάλυση, Τοπολογία
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Τρόπος Διεξαγωγής Μαθήματος	Δια ζώσης (100%)
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Το μάθημα έχει ως στόχο να εισάγει τους φοιτητές σε ένα ευρύ φάσμα θεμάτων διαφορικών εξισώσεων μεταπτυχιακού επιπέδου. Η επιλογή της ύλης γίνεται από κλασσικά θέματα διαφορικών εξισώσεων καθώς και από θέματα που βρίσκονται στο ενδιαφέρον της σύγχρονης έρευνας. Επιδιώκεται ο φοιτητής να αποκτήσει: γνώση θεμάτων από μια ευρεία περιοχή των διαφορικών εξισώσεων, δυνατότητα να ξεκινήσει έρευνα σε θέματα ποιοτικής θεωρίας διαφορικών εξισώσεων, και να έλθει σε επαφή με την βιβλιογραφία στα θέματα διαφορικών εξισώσεων τα οποία διδάχτηκε.

Γενικές Ικανότητες

Αυτόνομη εργασία Ομαδική εργασία Προαγωγή ελεύθερης και δημιουργικής σκέψης Προαγωγή αναλυτικής και συνθετικής και δημιουργικής σκέψης Αναζήτηση πληροφοριών με την χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών Απόκτηση ειδικών γνώσεων και καλλιέργεια ικανοτήτων σύγκρισης, εξαγωγής συμπερασμάτων και αξιολόγησης στο γνωστικό αντικείμενο.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Δεύτερης τάξης γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: Θεωρήματα τύπου Sturm. Θεωρήματα ταλάντωσης και μη ταλάντωσης. Αναγωγή προβλημάτων διαφορικών εξισώσεων σε ολοκληρωτικές εξισώσεις. Volterra ολοκληρωτικές εξισώσεις: Ύπαρξη και μονοσήμαντο λύσεων. Ύπαρξη λύσεων. Η γραμμική εξίσωση. Η πρώτου είδους γραμμική εξίσωση. Μερικά προβλήματα επί του ημιάξονα. Fredholm θεωρία γραμμικών ολοκληρωτικών εξισώσεων: Ο επιλύων πυρήνας. Οι ακέραιες συναρτήσεις του Fredholm και εφαρμογές αυτών. Ιδιοτιμές, ιδιοσυναρτήσεις και συζυγείς εξισώσεις. Μερικές ολοκληρωτικές ανισότητες: Λήμματα των Gronwall και Bihari και μερικές εφαρμογές αυτών. Υστερημένες διαφορικές εξισώσεις: Εισαγωγή. Παραδείγματα και η μέθοδος των βημάτων. Μερικά αξιοσημείωτα παραδείγματα και μερικά «εσφαλμένα» ερωτήματα. Συνθήκη του Lipschitz και μονοσήμαντο για το βασικό αρχικό πρόβλημα. Συμβολισμοί και μονοσήμαντο για συστήματα με φραγμένη υστέρηση. Ύπαρξη για συστήματα με φραγμένη υστέρηση. Γραμμικά υστερημένα διαφορικά συστήματα: Υπέρθεση. Η περίπτωση των σταθερών συντελεστών. Μεταβολή των παραμέτρων. Ευστάθεια για υστερημένα διαφορικά συστήματα: Ορισμοί και παραδείγματα. Ασυμπτωτική ευστάθεια. Γραμμικά και σχεδόν γραμμικά υστερημένα διαφορικά συστήματα. Κλασματικές διαφορικές εξισώσεις: Ορισμοί και ο βασικός λογισμός. Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών. Δυναμικές διαφορικές εξισώσεις: ορισμοί και λογισμός. Εξισώσεις και προβλήματα. Διάφορα θέματα.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Διδασκαλίας	Διαλέξεις-παρουσιάσεις στην αίθουσα.
Τρόπος και Συχνότητα Επικοινωνίας με Φοιτητές	Η επικοινωνία με τους φοιτητές γίνεται: Μέσω email. Δια ζώσης στο γραφείο. Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων. Η συχνότητα επικοινωνίας με τους φοιτητές καθορίζεται από τις ανάγκες των φοιτητών.
Διασφάλιση Τρόπου Επικοινωνίας Μεταξύ Φοιτητών	Συνέργεια στα πλαίσια της παράδοσης του μαθήματος.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Απαιτούμενος Τεχνολογικός Εξοπλισμός και Γνώσεις Τεχνολογίας	Δεν απαιτείται τεχνολογικός εξοπλισμός, καθώς παρέχεται. Δεν απαιτούνται εξειδικευμένες γνώσεις τεχνολογίας.
Πολιτική Μαθήματος για τη Λογοκλοπή και Εργαλεία Ελέγχου Λογοκλοπής	Η λογοκλοπή απαγορεύεται ρητά και τιμωρείται κλιμακούμενα, ανάλογα με την επανάληψη της χρήσης της. Ελέγχεται, δε, με σχετικά εργαλεία όπως το "Turnitin", που παρέχει η Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου.
Πολιτική Μαθήματος για τη Χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης	Επιτρέπεται η χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης κατόπιν άδειας από τον διδάσκοντα/τη διδάσκουσα.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις-Παρουσιάσεις 39 Ασκήσεις/Εργασίες 52,5 Αυτόνομη μελέτη 96 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Οι φοιτητές επιλέγουν να αξιολογηθούν με έναν ή και με τους δύο από τους εξής τρόπους: Παρουσιάσεις στην τάξη-Γραπτές εργασίες-Ασκήσεις Γραπτή τελική εξέταση Σε περίπτωση που κάποιος φοιτητής αξιολογηθεί και με τους δύο τρόπους, ως τελικός βαθμός υπολογίζεται το μέγιστο των δύο βαθμολογιών. Τα κριτήρια αξιολόγησης θα είναι προσβάσιμα στην ιστοσελίδα του Μαθήματος στην πλατφόρμα “E-Course” του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.

Differential Equations

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Graduate
Course Code	AN5
Semester	2
Course Title	Differential Equations
Independent Teaching Activities	Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5)
Course Type	Special Background
Prerequisite Courses	-
Language of Instruction and Examinations	Greek
Mode of Course Delivery	Face-to-face (100%)
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

This course is aiming at familiarizing the students with a variety of advanced subjects related to differential equations. Both classical and modern subjects are studied. After attending this course, the students should be able to: be familiar with a vast set of subjects related to differential equations, start researching on subjects regarding the qualitative theory of differential equations, and familiarize himself with the bibliography related to the subjects he was taught.

General Competences

Working independently. Team work. Production of new research ideas. Production of free, creative and inductive thinking. Search for, analysis and synthesis of data and information, with the use of the necessary technology. Develop critical thinking skills.

Syllabus

Second order linear ordinary differential equations: Sturm-type theorems, oscillation and non-oscillation theorems. Reducing differential equation problems to integral ones. Volterra integral equations: existence and uniqueness of solutions. Existence of solutions. The linear equation. The first order linear equation. Some problems on the semi-axis. Fredholm theory for linear integral equations: the resolvent kernel. The entire functions of Fredholm and their applications. Eigenvalues, eigenfunctions and conjugate functions. Some integral inequalities: Gronwall and Bihari Lemmas, and their applications. Delay differential equations: Introduction, Examples and the stepping method. Some remarkable examples and some "wrong" questions. Lipschitz condition and uniqueness for the basic initial problem. Notations and uniqueness for systems with bounded delay. Existence for systems with bounded delay. Linear delay differential systems: superposition. Fixed coefficients. Variation of parameters. Stability for delayed differential systems: Definitions and examples. Asymptotic stability. Linear and almost linear differential systems. Fractional differential equations: Definitions and basic calculus. Initial and boundary systems. Dynamical systems: definitions and calculus. Equations and problems. Various subjects.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Mode of Instruction	Lectures on class
Mode and Frequency of Communication with Students	Communication with students takes place through: Email. In-person meetings during office hours. During lectures. The frequency of communication with students is determined by their needs.
Ensuring Communication Among Students	Collaboration and interaction are encouraged within the context of course delivery.
Use of Information and Communications Technology	-
Required Technological Equipment and Technology Skills	No technological equipment is required from students, as all necessary equipment is provided. No specialized technology skills are required.
Course Policy on Plagiarism and Plagiarism Detection Tools	Plagiarism is strictly prohibited and is subject to progressively stricter penalties in the event of repeated offenses. It is monitored using plagiarism detection tools such as Turnitin, which is provided by the University Library.
Course Policy on the Use of Artificial Intelligence	The use of Artificial Intelligence is permitted only with the prior approval of the instructor.
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures 39 Exercises / Homework 52.5 Autonomous Study 96 Course total 187.5
Student Performance Evaluation	The students can choose one of the following options: Presentation in the class - Written homework - Exercises. Written final exam. If both methods are used, then the final grade is the maximum of the two. The criteria regarding the grading are publised in the "E-Course" platform.

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site.