Undergraduate Elective 1091

• Ελληνικά
• English

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAE826
Εξάμηνο	8
Τίτλος Μαθήματος	Τοπολογικές Ομάδες Πινάκων
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διάφορες μορφές διδασκαλίας (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
Τύπος Μαθήματος	Ειδίκευσης
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Σκοπός του μαθήματος είναι να δώσει μια εισαγωγή στη θεωρία Lie μέσω πινάκων. Κυρίως μελετάμε κλειστές υποομάδες της γενικής γραμμικής ομάδας. Η μελέτη μας επεκτείνεται από τους πραγματικούς στους μιγαδικούς και στα τετερτόνια. Οι αντίστοιχες γραμμικές ομάδες αποτελούν τοπολογικές ομάδες οπότε αναφερόμαστε και σε θεμελιώδεις ιδιότητες των τοπολογικών ομάδων. Οι αντίστοιχες ορθογώνιες ομάδες παίζουν ιδιαίτερο ρόλο στη θεωρία των αλγεβρών Lie για τις οποίες δίνουμε μια εισαγωγή μέσω των εκθετικών συναρτήσεων. Στο τέλος ορίζουμε και δίνουμε παραδείγματα πάνω στις ομάδες Lie. Το κύριο αποτέλεσμα είναι ότι κάθε ομάδα πινάκων είναι μια Lie υποομάδα.

Γενικές Ικανότητες

Ανάλυση συγκεκριμένων χαρακτηριστικών παραδειγμάτων και περιγραφή της συνάφειας τους με άλλους κλάδους των Μαθηματικών, όπως τοπολογία και διαφορική γεωμετρία Αυτόνομη εργασία και Ομαδική εργασία Μελέτη και παρουσίαση ενοτήτων.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Γενικές γραμμικές ομάδες. Πραγματικές άλγεβρες, μιγαδικοί, άλγεβρα τεταρτονίων. Άλγεβρες πινάκων. Εσωτερικά γινόμενα, ορθογώνιες, μοναδιαίες, συμπλεκτικές ομάδες. Ομομορφισμοί. Διαφορίσιμες καμπύλες, εφαπτόμενο διάνυσμα. Διάσταση ομάδας. Διαφορίσιμοι ομομορφισμοί. Εκθετική δύναμη πίνακα και άλγεβρες Lie. Ειδική ορθογώνια και συμπλεκτική ομάδα, S3, SO(3) και Sp(1). Τοπολογικές ομάδες, πολλαπλότητες. Μέγιστοι τόροι ομάδων, συζυγία. Διαφορίσιμες πολλαπλότητες, εφαπτόμενα διανύσματα, ομάδες Lie.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Πρόσωπο με πρόσωπο. ΧΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟ-ΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Χρήση Τ.Π.Ε. στη Διδασκαλία, στη Εργαστηριακή Εκπαίδευση, στην Επικοινωνία με τους φοιτητές
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις (13Χ3) 39 Φροντιστήριο 8 Συγγραφή εργασίας 30 Ασκήσεις 33 Εξετάσεις 40 Σύνολο Μαθήματος 150
Αξιολόγηση Φοιτητών	Γραπτή εξέταση, προφορική παρουσίαση, εβδομαδιαίες ασκήσεις.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Undergraduate
Course Code	MAE826
Semester	8
Course Title	Topological Matrix Groups
Independent Teaching Activities	Interactive, Presentations (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 6)
Course Type	Special Background, skills development
Prerequisite Courses	-
Language of Instruction and Examinations	Greek, English
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

The aim of the course is to provide an introduction to Lie theory through matrix groups. The main subject of study is the closed subgroups of the general linear group. Our study is extended from real to complex and quaternion numbers. The corresponding linear groups are in fact topological groups and an introduction of basic properties of topological group is also provided. The Lie algebra of a matrix group is defined. The special orthogonal, unitary and symplectic groups provide important example of Lie algebras. Lie algebras are studied using the exponential map. Finally Lie groups are defined.

General Competences

* Study particular characteristics of group theory in topology and geometry Independent and team work Working in an interdisciplinary.

Syllabus

General linear groups Real and Complex algebras, Quaternions. Matrix algebras Inner product, orthogonal, unitary and symplectic groups Homomorphisms Differential curves, tangent vectors. Dimension of a matrix group Differential homomorphisms Expontential and logarithmic funcions. Lie algebras Special orthogonal and symplectic groups Topological groups, manifolds Maximal tori Differential manifolds, Lie groups.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Delivery	Face-to-face, Distance learning
Use of Information and Communications Technology	Communication with students
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures 39 Working hours in class 8 Project 30 Assignments 33 Final exam 41 Course total 150
Student Performance Evaluation	Written Examination, Oral Presentation, written assignments.

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site. Books and other resources, not provided by Eudoxus:

• J. F. Adams, Lectures on Lie groups, University of Chicago Press, 1969.
• M. L. Curtis, Matrix Groups, Springer-Verlag, 1979.
• R. Howe. Very basic Lie theory, American math. monthly,90, 1983.