Undergraduate Compulsory 1003

• Ελληνικά
• English

Απειροστικός Λογισμός I

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAY111
Εξάμηνο	1
Τίτλος Μαθήματος	Απειροστικός Λογισμός I
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 5, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Επιστημονικής Περιοχής
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Γλώσσα διδασκαλίας διαλέξεων: Ελληνικά. Γλώσσα διδασκαλίας εκτός διαλέξεων και εξετάσεων: Ελληνικά και Αγγλικά.
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Το μάθημα αυτό αποτελεί το βασικό εισαγωγικό μάθημα Ανάλυσης. Οι έννοιες που διδάσκονται στο μάθημα αυτό είναι προαπαιτούμενες για την κατανόηση εννοιών που διδάσκονται σε πληθώρα άλλων μαθημάτων (υποχρεωτικών και επιλογής). Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές: Θα είναι σε θέση να κάνουν μαθηματικούς υπολογισμούς τεκμηριώνοντας πλήρως τα επιχειρήματά τους. Να κατανοήσουν τον ε-n 0 ορισμό ορίου ακολουθίας και τον ε-δ ορισμό συνέχειας συναρτήσεων, αποκτώντας ευχέρεια στη χρήση τους. Να υπολογίζουν supremum και infimum υποσυνόλων των πραγματικών αριθμών, να υπολογίζουν όρια ακολουθιών και όρια συναρτήσεων. Να κάνουν μελέτη συνάρτησης, με πλήρη θεωρητική αιτιολόγηση.

Γενικές Ικανότητες

Λήψη αποφάσεων. Αυτόνομη εργασία. Παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών. Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Πραγματικοί αριθμοί, αξιωματική θεμελίωση του συνόλου των πραγματικών αριθμών (με έμφαση στο supremum και το infimum), φυσικοί αριθμοί, επαγωγή, κλασσικές ανισότητες. Συναρτήσεις, γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων, μονότονες συναρτήσεις, φραγμένες συναρτήσεις, περιοδικές συναρτήσεις. Αμφιμονοσήμαντες και επί συναρτήσεις, αντίστροφη συνάρτησης. Επισκόπηση τριγωνομετρίας, τριγωνομετρικές και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση. Υπερβολικές και αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις. Ακολουθίες πραγματικών αριθμών, συγκλίνουσες ακολουθίες, μονότονες ακολουθίες, αναδρομικά οριζόμενες ακολουθίες, όρια μονοτόνων ακολουθιών, κιβωτισμός διαστημάτων. Η έννοια της υπακολουθίας, θεώρημα Bolzano Weierstass, ακολουθίες Cauchy. Σημεία συσσώρευσης ακολουθίας, ανώτερο και κατώτερο όριο ακολουθίας. Συνέχεια συνάρτησης, σημεία συσσώρευσης και μεμονωμένα σημεία συνόλων. Όρια συναρτήσεων σε πραγματικό αριθμό, πλευρικά όρια, όρια στο +∞ και στο -∞. Συνέχεια βασικών συναρτήσεων, συνέχεια και τοπική συμπεριφορά. Θεώρημα Bolzano και θεώρημα ενδιαμέσων τιμών. Χαρακτηρισμός της συνέχειας με ακολουθίες. Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων σε κλειστό διάστημα, συνέχεια της αντίστροφης συνεχούς συνάρτησης. Παράγωγος συναρτήσεως, ορισμός και γεωμετρική ερμηνεία, παραδείγματα και εφαρμογές στις φυσικές επιστήμες. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων, κανόνες παραγώγισης, παράγωγοι ανωτέρας τάξης. Θεώρημα Rolle, θεώρημα μέσης τιμής, θεώρημα Darboux. Σύνδεση της παραγώγου με τη μονοτονία συνάρτησης, ακρότατα συνάρτησης, κυρτές και κοίλες συναρτήσεις, σημεία καμπής. Θεώρημα παραγώγισης της αντίστροφης συνάρτησης. Γενικευμένο θεώρημα μέσης τιμής και κανόνας του De L' Hospital. Μελέτη συνάρτησης με χρήση παραγώγων.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Διαλέξεις στον πίνακα.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών	Χρήση της πλατφόρμας ecourse για την ενημέρωση των φοιτητών σε οτιδήποτε αφορά το μάθημα. Επικοινωνία με τους φοιτητές μέσω του ακαδημαϊκού email.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις (13Χ5) 65 Αυτοτελής Μελέτη 100 Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες 22.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Η αξιολόγηση γίνεται αποκλειστικά μέσω της τρίωρης γραπτής εξέτασης στις εξεταστικές περιόδους.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.

Infinitesimal Calculus I

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Undergraduate
Course Code	MAY111
Semester	1
Course Title	Infinitesimal Calculus I
Independent Teaching Activities	Lectures (Weekly Teaching Hours: 5, Credits: 7.5)
Course Type	General Background
Prerequisite Courses	-
Language of Instruction and Examinations	Language of Instruction (lectures): Greek. Language of Instruction (activities other than lectures): Greek and English Language of Examinations: Greek and English
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes (in English)
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

Here, the acronym RFooV stands for Real Function of one Variable. Remembering: Introduction to the sets of Natural Numbers, Integer Numbers, Rational Numbers, Irrational Numbers and Real Numbers, viewed from the aspect of Mathematical Analysis. Bounded and not bounded subsets of such sets. Basic concepts of Trigonometry. The concept of RFooV. Some basic properties of such functions. Elementary RFooVs. The concept of real valued sequences. Study of such sequences, including existence and calculation of limits. Limits and continuity of RFooV, using the (ε-δ) definition and the sequential definition. Basic properties of convergent RFooVs. Basic properties of continuous RFooVs. Classes of non-continuous RFooVs. Derivative of RFooV using the (ε-δ) definition and the sequential definition. Derivatives of elementary RFooVs. Calculation of derivatives. Comprehension: Methods of establishing a mathematical concept based on axioms and based of construction. Calculation and finding properties of sets of real numbers. Minimum upper and maximum lower boundaries. Graphing RFooVs, monotone RFooVs, bounded RFooVs, periodic RFooVs. Subsequences, the Bolzano-Weierstass Theorem, Cauchy sequences. Local behaviour of continuous RFooVs. The Bolzano Theorem and the Intermediate Values Theorem. Properties of continuous RFooVs defined in closed intervals, continuity of reverse continuous RFooVs. Uniform continuity of RFooVs defined in closed intervals. Methods of derivation, higher order derivatives. The Rolle Theorem, the Mean Value Theorem, the Darboux Theorem. The connection between derivative and monotonicity, extrema of RFooVs, convex and concave RFooVs, inflections points. Theorems for the derivation of inverse RFooVs. Generalized Mean Value Theorem, the De L’ Hospital Rule. Studying RFooVs using derivatives. Applying: Existence and uniqueness of solutions of non-linear equations. Finding maximum and minimum values of quantities, which emerge in problems in Natural Sciences. Plotting RFooVs. Evaluating: Teaching undergraduate courses.

General Competences

Creative, analytical and inductive thinking. Required for the creation of new scientific ideas. Working independently. Working in groups. Decision making.

Syllabus

Real numbers, axiomatic foundation of the set of real numbers (emphasis in the notion of supremum and infimim), natural numbers, induction, classical inequalities. Functions, graph of a function, monotone functions, bounded functions, periodic functions. Injective and surjective functions, inverse of a function. Trigonometric functions, inverse trigonometric functions, exponential and logarithmic functions, hyperbolic and inverse hyperbolic functions. Sequences of real numbers, convergent sequences, monotone sequences, sequences defined by recursion, limits of monotone sequences, nested intervals. The notion of subsequence, Bolzano Weierstass’ Theorem, Cauchy sequences. Accumulation points of sequences, upper and lower limit of a sequence (limsup, liminf). Continuity of functions, accumulation points and isolated points, limits of functions, one sided limits, limits on plus infinity and minus infinity. Continuity of several basic functions, local behaviour of a continuous function. Bolzano Theorem and intermediate value theorem. Characterization of continuity via sequences, properties of continuous functions defined on closed intervals, continuity of inverse functions. Derivative of a function, definition and geometric interpretation, examples and applications in sciences. The derivatives of elementary functions, derivation rules, higher order derivation. Rolle’s Theorem, Mean Value Theorem, Darboux’s theorem. Derivative and the monotonicity of a function, extrema of functions, convex and concave functions, inflection points. Derivation of inverse functions. Generalized Mean Value Theorem, De L’ Hospital rule. Study of functions using derivatives.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Delivery	Lectures in class. Learning Management System (e.g.: Moodle).
Use of Information and Communications Technology	Use of Learning Management System, combined with File Sharing Platform as well as Blog Management System for distributing teaching material, submission of assignments, course announcements, gradebook keeping for all students evaluation procedures, and communicating with students. Use of Appointment Scheduling System for organising appointments between students and the teacher. Use of Survey Web Application for submitting anonymous evaluations regarding the teacher. Use of Wiki Engine for publishing manuals regarding the regulations applied at the exams processes, the way teaching is organized, the grading methods, as well as the use of the online tools used within the course.
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures 65 Study and analysis of bibliography 100 Preparation of assignments and interactive teaching 22.5 Course total 187.5
Student Performance Evaluation	Language of evaluation: Greek and English. Methods of evaluation: Weekly presentations - oral exams, combined with weekly written assignments. In any case, all students can participate in written exams at the end of the semester. The aforementioned information along with all the required details are available through the course's website. The information is explained in detail at the beginning of the semester, as well as, throughout the semester, during the lectures. Reminders are also posted at the beginning of the semester and throughout the semester, through the course’s website. Upon request, all the information is provided using email or social networks.

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site.