Postgraduate Section 1 1006

• Ελληνικά
• English

Θεωρία Μέτρου

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	AN7
Εξάμηνο	1
Τίτλος Μαθήματος	Θεωρία Μέτρου
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Ειδικού υποβάθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Γλώσσα διδασκαλίας στο πλαίσιο των διαλέξεων: Ελληνικά. Γλώσσα διδασκαλίας εκτός διαλέξεων: Ελληνικά και Αγγλικά. Γλώσσα εξετάσεων: Ελληνικά και Αγγλικά.
Τρόπος Διεξαγωγής Μαθήματος	Δια ζώσης (100%)
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Σε όλα τα παρακάτω, τα σύνολα θεωρούνται ότι είναι τυχόντα υποσύνολα ενός τυχαίου ευκλείδειου σταθμητού χώρου πεπερασμένης διάστασης. Μαθησιακά αποτελέσματα με βάση την Ταξινόμηση κατά Bloom. Γνώση: Η έννοια του ορθογωνίου και του όγκου αυτού. Η έννοια του εξωτερικού μέτρου. Η έννοια του μέτρου Lebesgue. Η έννοια της σ-’Αλγεβρας. Το σύνολο Borel. Η έννοια της χαρακτηριστικής συνάρτησης, της κλιμακωτής συνάρτησης, της απλής συνάρτησης και της μετρήσιμης συνάρτησης. Η “σχεδόν παντού” ισχύς μιας ιδιότητας. Η έννοια του ολοκληρώματος Lebesgue. Ορισμός του χώρου L1 των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Η έννοια της απόλυτα συνεχούς συνάρτησης. Η έννοια της τοπικά ολοκληρώσιμης συνάρτησης. Η έννοια της πυκνότητας Lebesgue. Το σύνολο Lebesgue μιας τοπικά ολοκληρώσιμης συνάρτησης. Οι καλοί πυρήνες και οι προσεγγίσεις στην ταυτότητα. Η έννοια της συνάρτησης φραγμένης μεταβολής. Η έννοια των αφηρημένων μετρήσιμων χώρων. Τα Caratheodory μετρήσιμα σύνολα. Τα μετρικά εξωτερικά μέτρα. Η έννοια του προσημασμένου μέτρου. Κατανόηση: Το σύνολο του Cantor. Ιδιότητες του εξωτερικού μέτρου. Ιδιότητες του μέτρου Lebesgue. Αμετάβλητο του μέτρου Lebesgue κατά μετατοπίσεις. Συνθήκες μετρησιμότητας συνόλων. Κατασκευή μη-μετρήσιμων συνόλων. Ιδιότητες μετρήσιμων συναρτήσεων. Προσέγγιση μετρήσιμων συναρτήσεων από απλές ή κλιμακωτές συναρτήσεις. Τρεις Αρχές του Littlewood. Ανισότητα Brunn - Minkowskii. Ιδιότητες ολοκληρώματος Lebesgue. Σχέση μεταξύ ολοκληρώματος Lebesgue και ολοκληρώματος Riemann. Λήμμα Fatou. Θεώρημα μονότονης σύγκλισης. Θεώρημα Riesz - Fischer. Αμετάβλητο του ολοκληρώματος Lebesgue κατά μετατοπίσεις. Θεώρημα Fubini. Σχέση μεταξύ ολοκληρώσιμης και μετρήσιμης συνάρτησης. Η μεγιστική συνάρτηση των Hardy - Littlewood. Ιδιότητες συναρτήσεων φραγμένης μεταβολής. Ιδιότητες απόλυτα συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Ιδιότητες των αφηρημένων μετρήσιμων χώρων. Ολοκλήρωση σε αφηρημένους μετρήσιμους χώρους. Απόλυ συνέχεια μέτρων. Εφαρμογή: Υπολογισμός μέτρου συνόλου. Εύρεση παραδειγμάτων μη-μετρήσιμων συνόλων. Υπολογισμός ολοκληρώματος Lebesgue. Εύρεση μέσης τιμής συνάρτησης. Αξιολόγηση: Διδασκαλία μαθημάτων προπτυχιακού επιπέδου.

Γενικές Ικανότητες

Προαγωγή της δημιουργικής, αναλυτικής και επαγωγικής σκέψης. Είναι προαπαιτούμενο για την παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών. Αυτόνομη εργασία. Ομαδική εργασία. Λήψη αποφάσεων.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Χώροι μέτρου, μέτρο Lebesgue. Mετρήσιμες συναρτήσεις και ολοκλήρωμα Lebesgue, Θεώρημα μονότονης και κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue, σύγκρισή του ολοκληρώματος Lebesgue με το ολοκλήρωμα Riemann. Μέτρα γινόμενα, Θεώρημα Fubini. Χώροι Lp. Προσημασμένα μέτρα, ανάλυση Hahn, Θεώρημα Radon-Nikodym. Σύγκλιση ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Διδασκαλίας	Διαλέξεις σε αμφιθέατρο. Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση Learning Management System. Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση forums για την εξάσκηση των φοιτητών στην επίλυση ασκήσεων και την κατανόηση της θεωρίας. Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση βιντεοσκοπήσεων.
Τρόπος και Συχνότητα Επικοινωνίας με Φοιτητές	Η επικοινωνία με τους φοιτητές γίνεται: Μέσω email. Δια ζώσης στο γραφείο. Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων. Η συχνότητα επικοινωνίας με τους φοιτητές καθορίζεται από τις ανάγκες των φοιτητών.
Διασφάλιση Τρόπου Επικοινωνίας Μεταξύ Φοιτητών	Συνέργεια στα πλαίσια της παράδοσης του μαθήματος.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών	Χρήση Learning Management System, σε συνδυασμό με File Sharing Platform και Blog Management System για τον διαμερισμό διδακτικού υλικού, την υποβολή εκ μέρους των φοιτητών εργασιών, την δημοσίευση ανακοινώσεων σχετικών με το μάθημα, τη διατήρηση αναλυτικού βαθμολογίου για τις ενδοεξαμηνιαίες δραστηριότητες την επικοινωνία με τους φοιτητές. Χρήση Appointment Scheduling System για την οργάνωση των εκτός των διαλέξεων συναντήσεων των φοιτητών με τον διδάσκοντα. Χρήση Survey Web Application για την υποβολή ανώνυμης κριτικής σχετικά με το μάθημα. Χρήση Wiki Engine για την δημοσίευση εγχειριδίων σχετικά με τους κανονισμούς των εξετάσεων, τον τρόπο διεξαγωγής του μαθήματος, τον τρόπο βαθμολόγησης του μαθήματος και την παροχή οδηγιών σχετικά με την χρήση των διαδικτυακών εργαλείων που χρησιμοποιούνται στο μάθημα.
Απαιτούμενος Τεχνολογικός Εξοπλισμός και Γνώσεις Τεχνολογίας	Δεν απαιτείται τεχνολογικός εξοπλισμός, καθώς παρέχεται. Δεν απαιτούνται εξειδικευμένες γνώσεις τεχνολογίας.
Πολιτική Μαθήματος για τη Λογοκλοπή και Εργαλεία Ελέγχου Λογοκλοπής	Η λογοκλοπή απαγορεύεται ρητά και τιμωρείται κλιμακούμενα, ανάλογα με την επανάληψη της χρήσης της. Ελέγχεται, δε, με σχετικά εργαλεία όπως το "Turnitin", που παρέχει η Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου.
Πολιτική Μαθήματος για τη Χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης	Επιτρέπεται η χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης κατόπιν άδειας από τον διδάσκοντα/τη διδάσκουσα.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις 39 Αυτοτελής Μελέτη 78 Επίλυση Ασκήσεων-Εργασίες 70.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Γλώσσα αξιολόγησης: Ελληνικά και Αγγλικά. Διαδικασία αξιολόγησης των φοιτητών: Απαλλακτικές εβδομαδιαίες διαλέξεις - προφορικές εξετάσεις των φοιτητών, σε συνδυασμό με εβδομαδιαίες γραπτές εργασίες. Σε κάθε περίπτωση, όλοι ανεξαιρέτως οι φοιτητές έχουν δικαίωμα συμμετοχής στην Εξεταστική Περίοδο που έπεται του τέλους του Εξαμήνου. Όλα τα προαναφερθέντα, συμπεριλαμβανομένων όλων των σχετικών κριτηρίων, αναγράφονται λεπτομερώς στην ιστοσελίδα του μαθήματος. Γίνεται επεξήγηση τους, στα πλαίσια των διαλέξεων, κατά την αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Γίνονται ενημερώσεις και υπενθυμίσεις μέσω της ιστοσελίδας του μαθήματος κατά την αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Παρέχονται όσες διευκρινίσεις ζητηθούν μέσω email ή ιστοχώρων κοινωνικής δικτύωσης και των εφαρμογών τους.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.

Measure Theory

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Graduate
Course Code	AN7
Semester	1
Course Title	Measure Theory
Independent Teaching Activities	Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5)
Course Type	General Background
Prerequisite Courses	-
Language of Instruction and Examinations	Language of Instruction (lectures): Greek Language of Instruction (activities other than lectures): Greek and English Language of Examinations: Greek and English
Mode of Course Delivery	Face-to-face (100%)
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

Using the Bloom Taxonomy. All the following sets are considered to be arbitrary subsets of an arbitrary Euclidean normed space of finite dimension. Remembering: The notion of the rectangle and the notion of the volume of a rectangle. The notion of the outer measure. The notion of the Lebesgue measure. The notion of the σ-Algebra. The Borel set. The notion of the characteristic function, of the step function, of the simple function and of the measurable function. The “almost everywhere” validity of a property. The notion of the Lebesgue integral. Definition of the L1 space, of the integrable functions. The notion of the absolutely continuous function. The notion of the locally integrable function. The notion of the Lebesgue density. The Lebesgue set of a locally integrable function. Good kernels and approximations to the identity. The notion of the bounded variation function. The notion of abstract measurable spaces. The Caratheodory measurable sets. The metric outer measures. The notion of the pre-signed measure. Comprehension: The Cantor set. Properties of the outer measure. Properties of the Lebesgue measure. Translation invariance property of the Lebesgue measure. Conditions under which sets are measurable. Construction of non-measurable sets. Properties of measurable functions. Approximation of measurable functions by simple or step functions. The three principles of Littlewood. Brunn – Minkowskii inequality. Properties of the Lebesgue integral. Relation between the Lebesgue integral and the Riemann integral. Fatou Lemma. Uniform convergence theorem. Riesz – Fischer theorem. Translation invariance property of the Lebesgue integral. Fubini theorem. Relation between integrable and measurable function. The Hardy - Littlewood maximal function. Properties of bounded variation functions. Properties of absolutely continuous and differentiable functions. Properties of abstract measurable spaces. Integration in abstract measurable spaces. Absolute continuity of measures. Applying: Calculating the measure of a set. Finding examples of non-measurable sets. Calculating the Lebesgue integral. Finding the mean value of a function. Evaluating: Teaching undergraduate courses.

General Competences

Production of free, analytic and inductive thinking. Required for the production of new ideas. Working independently. Team work. Decision making.

Syllabus

Measure spaces, Lebesgue measure, measurable functions and Lebesgue integral, Monotone convergence Theorem and Dominated convergence Theorem, relation between Riemann and Lebesgue integral. Product measures, Fubini Theorem. L^p spaces. Signed measures, Hahn decomposition, Radon-Nikodym Theorem. Convergence of sequences of measurable functions.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Mode of Instruction	Lectures in class. Teaching is assisted by Learning Management System. Teaching is assisted by the use of online forums where students can participate in order to improve their problem solving skills, as well as their understanding of the theory they are taught. Teaching is assisted by the use of pre-recorded videos.
Mode and Frequency of Communication with Students	Communication with students takes place through: Email. In-person meetings during office hours. During lectures. The frequency of communication with students is determined by their needs.
Ensuring Communication Among Students	Collaboration and interaction are encouraged within the context of course delivery.
Use of Information and Communications Technology	Use of Learning Management System, combined with File Sharing Platform as well as Blog Management System for distributing teaching material, submission of assignments, course announcements, gradebook keeping for all students evaluation procedures, and communicating with students. Use of Appointment Scheduling System for organising appointments between students and the teacher. Use of Survey Web Application for submitting anonymous evaluations regarding the teacher. Use of Wiki Engine for publishing manuals regarding the regulations applied at the exams processes, the way teaching is organized, the grading methods, as well as the use of the online tools used within the course.
Required Technological Equipment and Technology Skills	No technological equipment is required from students, as all necessary equipment is provided. No specialized technology skills are required.
Course Policy on Plagiarism and Plagiarism Detection Tools	Plagiarism is strictly prohibited and is subject to progressively stricter penalties in the event of repeated offenses. It is monitored using plagiarism detection tools such as Turnitin, which is provided by the University Library.
Course Policy on the Use of Artificial Intelligence	The use of Artificial Intelligence is permitted only with the prior approval of the instructor.
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures 39 Study and analysis of bibliography 78 Preparation of assignments and interactive teaching 70.5 Course total 187.5
Student Performance Evaluation	Language of evaluation: Greek and English. Methods of evaluation: Weekly presentations - oral exams, combined with weekly written assignments. In any case, all students can participate in written exams at the end of the semester. The aforementioned information along with all the required details are available through the course’s website. The information is explained in detail at the beginning of the semester, as well as, throughout the semester, during the lectures. Reminders are also posted at the beginning of the semester and throughout the semester, through the course’s website. Upon request, all the information is provided using email or social networks.

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site.