Postgraduate Section 2 1005

• Ελληνικά
• English

Αλγεβρική Τοπολογία Ι

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	ΓΕ5
Εξάμηνο	2
Τίτλος Μαθήματος	Αλγεβρική Τοπολογία Ι
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διάφορες μορφές διδασκαλίας (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Ειδικού Υπόβαθρου, Ανάπτυξης ιδιαίτερων δεξιοτήτων στην τοπολογία - γεωμετρία - άλγεβρα
Προαπαιτούμενα Μαθήματα	ΜΑΥ413 Τοπολογία, ΜΑΥ422 Αλγεβρικές Δομές I
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Η αλγεβρική τοπολογία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών ο οποίος αναπτύχθηκε τον εικοστό αιώνα με καταβολές σχετιζόμενες με αρχαία προβλήματα των μαθηματικών. Το κύριο χαρακτηριστικό του κλάδου είναι οι ποικίλες εφαρμογές και επηρεασμοί άλλων κλάδων στα μαθηματικά και άλλες επιστήμες. Όπως άλγεβρα, ανάλυση, διαφορική και αλγεβρική γεωμετρία, θεωρία αριθμών. Αλλά και φυσική, βιολογία, οικονομικές επιστήμες και επιστήμη υπολογιστών. Απαιτείται ευχέρεια και χρήση βασικών εννοιών από τη Γενική Τοπολογία. Μελετάται η συμπαγής Ανοικτή Τοπολογία σαν εργαλείο μελέτης χώρων απεικονίσεων. Γίνεται μελέτη ομοτοπίας και χρήση εργαλείων για υπολογισμούς. Μελετάται πότε μια κατηγορία χώρων είναι "καλή" από την τοπολογική σκοπιά; Μελέτη ομοτοπίας και χρήση εργαλείων για υπολογισμούς. Επίσης μελέτη του ερωτήματος "Πως θα μπορούσαμε να ξεχωρίσουμε τοπολογικούς χώρους μεταξύ τους"; Υπολογισμός των πρωταρχικών ομάδων για βασικούς τοπολογικούς χώρους μέσω των καλυπτικών απεικονίσεων και ταξινόμηση αυτών.

Γενικές Ικανότητες

Η μετάβαση και ευχέρεια κατανόησης δύσκολων μαθηματικών αποδείξεων. Αυτόνομη εργασία ώστε να έχουν την ευκαιρία να βελτιώσουν την ικανότητά τους για συγγραφή ατομικών μαθηματικών κειμένων. Παροχή των απαραίτητων γνώσεων ώστε να μπορούν να κατανοήσουν - αναλύσουν τοπολογικά-γεωμετρικά προβλήματα.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Συμπαγής Ανοικτή Τοπολογία. Ομοτοπία, πρωταρχική ομάδα. Ομοτοπία του κύκλου. Cell complexes. Πραγματικός προβολικός χώρος. Μιγαδικός προβολικός χώρος. Καλυπτικοί χώροι. Παραμορφώσεις. Ταξινόμηση καλυπτικών χώρων. Εφαρμογές. Θεώρημα Scheifert-Van Kampen. Πρωταρχικές ομάδες επιφανειών. Singular ομολογία. Ομοτοπικές απεικονίσεις και ομολογία. Εργαλεία, μακριές ακριβείς ακολουθίες. Ομολογία σφαίρας. Σχετική ομολογία, Εκτομή. Βαθμός απεικονίσεων στη σφαίρα, Θεωρήματα σταθερού σημείου.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Πρόσωπο με πρόσωπο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις 39 Φροντιστήριο 28 Συγγραφή εργασίας 30 Ασκήσεις 40,5 Εξετάσεις 50 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Γραπτή εξέταση, Προφορική παρουσίαση, εβδομαδιαίες ασκήσεις.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.

Algebraic Topology I

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Graduate
Course Code	ΓΕ5
Semester	2
Course Title	Algebraic Topology I
Independent Teaching Activities	Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5)
Course Type	Special background. Specialized general knowledge. Skills development.
Prerequisite Courses	General Topology, Algebraic Structures I
Language of Instruction and Examinations	Greek
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes (in English)
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

Algebraic topology is a twentieth century field of mathematics that can trace its origins and connections back to the ancient beginnings of mathematics. One of the strengths of algebraic topology has always been its wide degree of applicability to other fields. Nowadays that includes fields like physics, differential geometry, algebraic geometry, and number theory, biology, financial sciences, computer sciences. We expect familiarity with basic notions from point set topology. We study the compact open topology and function spaces as an introduction to homotopy between maps. The main Learning Outcomes can be described as the application of Cell complexes and the category of CW spaces in connection between homotopy-homology and important problems in geometry. Moreover, how do we compute using homotopy? How can we distinguish between topological spaces? We compute the fundamental groups of basic topological spaces and classify covering spaces. Singular homology is introduced along with the main technics of computations.

General Competences

Search for analysis and synthesis of data and information related with topological and geometrical problems. Working independently and in a Team work. Working in an interdisciplinary environment aiming at production of new research ideas related to the syllabus of the course.

Syllabus

Compact open topology. Homotopy, fundamental group. Homotopy of the circle. Cell complexes. Real and Complex projective spaces. Covering spaces. Deformations. Classification of covering spaces. Applications. Scheifert-Van Kampen Theorem. Fundamental groups of surfaces. Singular homology. Homotopic maps and homology. The long exact sequence of a pair. Homology of the sphere. Relative homology, excision. The degree of maps of spheres. Fixed point Theorems.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Delivery	Face-to-face
Use of Information and Communications Technology	-
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures 39 Working hours in class 28 Project 30 Assignments 40.5 Final 50 Course total 187.5
Student Performance Evaluation	Written Examination, Oral Presentation, tests, written assignments.

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site.