Postgraduate Section 1 1004

• Ελληνικά
• English

Γενική Τοπολογία

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	ΑΝ2
Εξάμηνο	1
Τίτλος Μαθήματος	Γενική Τοπολογία
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Γενικού υποβάθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Τρόπος Διεξαγωγής Μαθήματος	Δια ζώσης (100%)
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά αποτελέσματα με βάση την Ταξινόμηση κατά Bloom. Γνώση: Η έννοια του τοπολογικού χώρου, του ανοικτού και κλειστού συνόλου, του εσωτερικού και της κλειστής θήκης συνόλου. Συνεχείς συναρτήσεις σε τοπολογικούς χώρους. Αξιώματα διαχωρισμού. Η έννοια της σύγκλισης σε τοπολογικούς χώρους. Μετρικοί χώροι και μετρικοποιήσιμοι χώροι. Διάσταση τοπολογικού χώρου. Διάσταση μετρικοποίησιμου χώρου. Κατανόηση: Μέθοδοι δημιουργίας τοπολογιών. Ομοιομορφισμοί. Χώροι Frechet. Πράξεις τοπολογικών χώρων. Χώροι συναρτήσεων. Συμπαγείς χώροι, τοπικά συμπαγείς χώροι, συμπαγοποιήσεις, αριθμήσιμα συμπαγείς χώροι, ψευδοσυμπαγείς χώροι, ακολουθιακά συμπαγείς χώροι. Ολικά φραγμένοι και πλήρεις μετρικοί χώροι. Παρασυμπαγείς χώροι, αριθμήσιμα παρασυμπαγείς χώροι. Συνεκτικοί χώροι, είδη μη-συνεκτικότητας. Ομοιόμορφοι χώροι, ολικά φραγμένοι, πλήρεις και συμπαγείς ομοιόμορφοι χώροι, χώροι προσέγγισης. Εφαρμογή: Πλήρης μελέτη τοπολογικών χώρων. Πλήρης μελέτη συνεχών συναρτήσεων σε τοπολογικούς χώρους. Αξιολόγηση: Διδασκαλία μαθημάτων προπτυχιακού επιπέδου.

Γενικές Ικανότητες

Προαγωγή της δημιουργικής, αναλυτικής και επαγωγικής σκέψης. Είναι προαπαιτούμενο για την παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών. Αυτόνομη εργασία. Ομαδική εργασία. Λήψη αποφάσεων.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Τοπολογικοί χώροι, μέθοδοι κατασκευής τοπολογικών χώρων, συνεχείς απεικονίσεις, αξιώματα διαχωρισμού, χώροι Frechet, υπόχωροι, καρτεσιανά γινόμενα, χώροι πηλίκο, χώροι συναρτήσεων, συμπαγείς χώροι, τοπικά συμπαγείς χώροι, συμπαγοποιήσεις, αριθμήσιμα συμπαγείς χώροι, ψευδοσυμπαγείς χώροι, ακολουθιακά συμπαγείς χώροι, ολικά φραγμένοι και πλήρεις μετρικοί χώροι, παρασυμπαγείς χώροι, αριθμήσιμα παρασυμπαγείς χώροι, συνεκτικοί χώροι, είδη μη-συνεκτικότητας, διάσταση τοπολογικών χώρων και ιδιότητες της, ομοιόμορφοι χώροι, ολικά φραγμένοι, πλήρεις και συμπαγείς ομοιόμορφοι χώροι, χώροι προσέγγισης.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Διδασκαλίας	Διαλέξεις σε αμφιθέατρο. Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση Learning Management System (ενδεικτικά: Moodle).
Τρόπος και Συχνότητα Επικοινωνίας με Φοιτητές	Η επικοινωνία με τους φοιτητές γίνεται: Μέσω email. Δια ζώσης στο γραφείο. Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων. Η συχνότητα επικοινωνίας με τους φοιτητές καθορίζεται από τις ανάγκες των φοιτητών.
Διασφάλιση Τρόπου Επικοινωνίας Μεταξύ Φοιτητών	Συνέργεια στα πλαίσια της παράδοσης του μαθήματος.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών	Χρήση Learning Management System (ενδεικτικά: Moodle), σε συνδυασμό με File Sharing and Communication Platform (ενδεικτικά: NextCloud) για τον διαμερισμό διδακτικού υλικού, την υποβολή εκ μέρους των φοιτητών εργασιών, την ενημέρωση των φοιτητών σχετικά με ότι αφορά το μάθημα, τη διατήρηση αναλυτικού βαθμολογίου για τις ενδοεξαμηνιαίες δραστηριότητες την επικοινωνία με τους φοιτητές. Χρήση Web Appointment Scheduling System (ενδεικτικά: Easy!Appointments) για την οργάνωση των επισκέψεων των φοιτητών στο γραφείο του διδάσκοντα. Χρήση υπηρεσιών της Google για την υποβολή ανώνυμης κριτικής σχετικά με το μάθημα.
Απαιτούμενος Τεχνολογικός Εξοπλισμός και Γνώσεις Τεχνολογίας	Δεν απαιτείται τεχνολογικός εξοπλισμός, καθώς παρέχεται. Δεν απαιτούνται εξειδικευμένες γνώσεις τεχνολογίας.
Πολιτική Μαθήματος για τη Λογοκλοπή και Εργαλεία Ελέγχου Λογοκλοπής	Η λογοκλοπή απαγορεύεται ρητά και τιμωρείται κλιμακούμενα, ανάλογα με την επανάληψη της χρήσης της. Ελέγχεται, δε, με σχετικά εργαλεία όπως το "Turnitin", που παρέχει η Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου.
Πολιτική Μαθήματος για τη Χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης	Επιτρέπεται η χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης κατόπιν άδειας από τον διδάσκοντα/τη διδάσκουσα.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Παρακολούθηση διαλέξεων 39 Μελέτη και ανάλυση βιβλιογραφίας 78 Συγγραφή εργασιών και διαδραστική διδασκαλία 70.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Γλώσσα αξιολόγησης: Ελληνικά και Αγγλικά. Διαδικασία αξιολόγησης των φοιτητών: Απαλλακτικές εβδομαδιαίες διαλέξεις - προφορικές εξετάσεις από τους φοιτητές, σε συνδυασμό με εβδομαδιαίες γραπτές εργασίες. Σε κάθε περίπτωση, όλοι ανεξαιρέτως οι φοιτητές έχουν δικαίωμα συμμετοχής στην Εξεταστική Περίοδο που έπεται του τέλους του Εξαμήνου. Όλα τα προαναφερθέντα, συμπεριλαμβανομένων όλων των σχετικών κριτηρίων, αναγράφονται λεπτομερώς στην ιστοσελίδα του μαθήματος. Γίνεται επεξήγηση τους, στα πλαίσια των διαλέξεων, κατά την αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Γίνονται ενημερώσεις και υπενθυμίσεις μέσω της ιστοσελίδας του μαθήματος κατά την αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Παρέχονται όσες διευκρινίσεις ζητηθούν μέσω email ή ιστοχώρων κοινωνικής δικτύωσης και των εφαρμογών τους.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.

General Topology

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Graduate
Course Code	AN2
Semester	1
Course Title	General Topology
Independent Teaching Activities	Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5)
Course Type	General Background
Prerequisite Courses	-
Language of Instruction and Examinations	Language of Instruction (lectures): Greek Language of Instruction (activities other than lectures): Greek and English Language of Examinations: Greek and English
Mode of Course Delivery	Face-to-face (100%)
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

Using the Bloom Taxonomy. All the following sets are considered to be arbitrary subsets of an arbitrary Euclidean normed space of finite dimension. Remembering: Topological spaces, open and closed sets, interior and closure of sets. Continuous functions in topological spaces. Axioms of separation. Convergence in topological spaces. Metric spaces and metrizable spaces. Dimension of topological spaces. Dimension of metrizable space. Comprehension: Methods of generating topologies. Homeomorphisms. Frechet spaces. Operations on topological spaces. Functions spaces. Compact spaces, locally compact spaces, compactifications, countably compact spaces, pseudocompact spaces, sequentially compact spaces. Totally bounded and complete metric spaces. Paracompact spaces, countably paracompact spaces. Connected spaces, kinds of disconnectedness. Uniform spaces, totally bounded, complete and compact uniform spaces, proximity spaces. Applying: Thorough study of topological spaces. Thorough study of continuous functions in topological spaces. Evaluating: Teaching undergraduate courses.

General Competences

Production of free, analytic and inductive thinking. Required for the production of new ideas. Working independently. Team work. Decision making.

Syllabus

Topological spaces, methods of generating topologies, continuous mappings, axioms of separation, Frechet spaces, subspaces, Cartesian products, quotient spaces, function spaces, compact spaces, locally compact spaces, compactifications, countably compact spaces, pseudocompact spaces, sequentially compact spaces, totally bounded and complete metric spaces, paracompact spaces, countably paracompact spaces, connected spaces, kinds of disconnectedness, dimension of topological spaces and its basic properties, uniform spaces, totally bounded, complete and compact uniform spaces, proximity spaces.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Mode of Instruction	Lectures in class. Teaching is assisted by Learning Management System. Teaching is assisted by the use of online forums where students can participate in order to improve their problem solving skills, as well as their understanding of the theory they are taught. Teaching is assisted by the use of pre-recorded videos.
Mode and Frequency of Communication with Students	Communication with students takes place through: Email. In-person meetings during office hours. During lectures. The frequency of communication with students is determined by their needs.
Ensuring Communication Among Students	Collaboration and interaction are encouraged within the context of course delivery.
Use of Information and Communications Technology	Use of Learning Management System, combined with File Sharing Platform as well as Blog Management System for distributing teaching material, submission of assignments, course announcements, gradebook keeping for all students evaluation procedures, and communicating with students. Use of Appointment Scheduling System for organising appointments between students and the teacher. Use of Survey Web Application for submitting anonymous evaluations regarding the teacher. Use of Wiki Engine for publishing manuals regarding the regulations applied at the exams processes, the way teaching is organized, the grading methods, as well as the use of the online tools used within the course.
Required Technological Equipment and Technology Skills	No technological equipment is required from students, as all necessary equipment is provided. No specialized technology skills are required.
Course Policy on Plagiarism and Plagiarism Detection Tools	Plagiarism is strictly prohibited and is subject to progressively stricter penalties in the event of repeated offenses. It is monitored using plagiarism detection tools such as Turnitin, which is provided by the University Library.
Course Policy on the Use of Artificial Intelligence	The use of Artificial Intelligence is permitted only with the prior approval of the instructor.
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures 39 Study and analysis of bibliography 78 Preparation of assignments and interactive teaching 70.5 Course total 187.5
Student Performance Evaluation	Language of evaluation: Greek and English. Methods of evaluation: Weekly presentations - oral exams, combined with weekly written assignments. In any case, all students can participate in written exams at the end of the semester. The aforementioned information along with all the required details are available through the course’s website. The information is explained in detail at the beginning of the semester, as well as, throughout the semester, during the lectures. Reminders are also posted at the beginning of the semester and throughout the semester, through the course’s website. Upon request, all the information is provided using email or social networks.

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site.