Undergraduate Elective 1018

• Ελληνικά
• English

Δακτύλιοι, Πρότυπα και Εφαρμογές

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAE628
Εξάμηνο	6
Τίτλος Μαθήματος	Δακτύλιοι, Πρότυπα και Εφαρμογές
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
Τύπος Μαθήματος	Ειδίκευσης
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Τρόπος Διεξαγωγής Μαθήματος	Δια ζώσης (100%)
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Nαι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στα κυριότερα εργαλεία και τις μεθόδους της θεωρίας, κυρίως μεταθετικών, δακτυλίων, και των προτύπων υπεράνω αυτών. Το μάθημα επικεντρώνεται στη μελέτη δακτυλίων κυρίων ιδεωδών και περιοχών μονοσήμαντης ανάλυσης, και στη μελέτη της δομής πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων υπεράνω αυτών των δακτυλίων. Ο κεντρικός στόχος του μαθήματος είναι η παρουσίαση των βασικών θεωρημάτων αποσύνθεσης πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων υπεράνω περιοχών κυρίων ιδεωδών και περιοχών μονοσήμαντης. Βασικό στοιχείο στην μελέτη των παραπάνω δακτυλίων αποτελεί η αλληλεπίδραση της δομής των ιδεωδών του δακτυλίου με την δομή των πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων (αναπαραστάσεων) του. Στο μάθημα θα δοθεί πληθώρα παραδειγμάτων και επιπρόσθετα θα δοθούν εφαρμογές σε διάφορες περιοχές των Μαθηματικών και ειδικότερα της Άλγεβρας, έχοντας ως οδηγό τη ανάλυση της δομής: των πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων, των πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων υπεράνω ενός πολυωνυμικού δακτυλίου, η οποία οδηγεί στην μελέτη κανονικών μορφών γραμμικών απεικονίσεων και πινάκων (ρητή κανονική μορφή και κανονική μορφή Jordan). Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα τα οποία αναλύονται στο μάθημα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα, να είναι σε θέση να τα εφαρμόζει για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων, και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς.

Γενικές Ικανότητες

Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο πτυχιούχος να αποκτήσει την ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων της Θεωρίας Δακτυλίων Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχών Μονοσήμαντης Ανάλυσης, της Βασικής Θεωρίας Προτύπων υπεράνω, κυρίως μεταθετικών, δακτυλίων, και των εφαρμογών τους στη Θεωρία Αβελιανών Ομάδων, στη Θεωρία Πολυωνύμων, και στην Γραμμική Άλγεβρα. Η Θεωρία η οποία αναπτύσσεται στο μάθημα αποτελεί ένα σημαντικό μέρος της σύγχρονης Άλγεβρας, και ο πτυχιούχος, ερχόμενος για πρώτη φορά σε επαφή με έννοιες της Θεωρίας Δακτυλίων, της Θεωρίας Προτύπων και των Εφαρμογών τους, προάγει τη δημιουργική, αναλυτική και επαγωγική σκέψη του, και καθώς και την ικανότητά του να εφαρμόζει αφηρημένες γνώσεις σε διακεκριμένα προβλήματα διάφορων περιοχών.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Στοιχειώδης θεωρία Δακτυλίων. Ευκλείδειες περιοχές, περιοχές κυρίων ιδεωδών, και περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης. Γενική Θεωρία Προτύπων. Πρότυπα υπεράνω πολυωνυμικών δακτυλίων. Πεπερασμένα παραγόμενα και ελεύθερα πρότυπα. Πρότυπα υπεράνω περιοχών κυρίων ιδεωδών. Θεωρήματα αποσύνθεσης. Εφαρμογές στη θεωρία αβελιανών ομάδων (δομή πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων) και στη Γραμμική Άλγεβρα (ρητή κανονική μορφή και κανονική μορφή Jordan).

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Διδασκαλίας	Πρόσωπο με πρόσωπο.
Τρόπος και Συχνότητα Επικοινωνίας με Φοιτητές	Η επικοινωνία με τους φοιτητές γίνεται: Μέσω email. Δια ζώσης στο γραφείο. Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων. Η συχνότητα επικοινωνίας με τους φοιτητές καθορίζεται από τις ανάγκες των φοιτητών.
Διασφάλιση Τρόπου Επικοινωνίας Μεταξύ Φοιτητών	Συνέργεια στα πλαίσια της παράδοσης του μαθήματος.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Απαιτούμενος Τεχνολογικός Εξοπλισμός και Γνώσεις Τεχνολογίας	Δεν απαιτείται τεχνολογικός εξοπλισμός, καθώς παρέχεται. Δεν απαιτούνται εξειδικευμένες γνώσεις τεχνολογίας.
Πολιτική Μαθήματος για τη Λογοκλοπή και Εργαλεία Ελέγχου Λογοκλοπής	Η λογοκλοπή απαγορεύεται ρητά και τιμωρείται κλιμακούμενα, ανάλογα με την επανάληψη της χρήσης της. Ελέγχεται, δε, με σχετικά εργαλεία όπως το "Turnitin", που παρέχει η Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου.
Πολιτική Μαθήματος για τη Χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης	Επιτρέπεται η χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης κατόπιν άδειας από τον διδάσκοντα/τη διδάσκουσα.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις (13Χ3) 39 Αυτοτελής Μελέτη 78 Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες 33 Σύνολο Μαθήματος 150
Αξιολόγηση Φοιτητών	Εβδομαδιαίες εργασίες, παρουσιάσεις στον πίνακα, και γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

Rings, Modules and Applications

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Undergraduate
Course Code	MAE628
Semester	6
Course Title	Rings, Modules and Applications
Independent Teaching Activities	Lectures, laboratory exercises (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 6)
Course Type	Special Background
Prerequisite Courses	-
Language of Instruction and Examinations	Greek
Mode of Course Delivery	Face-to-face (100%)
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes (in English)
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

The principal aim of the course is to introduce the students to the main tools and methods of the theory of modules and rings. At the end of the course we expect the student to have understood the definitions and basic theorems which are discussed in the course, to have understood how they are applied in discrete examples, to be able to apply the material in order to extract new elementary conclusions, and finally to perform some (no so obvious) calculations.

General Competences

The contact of the undergraduate student with the ideas and concepts of the theory of modules and rings, (a) promotes the creative, analytical and deductive thinking and the ability to work independently, (b) improves his critical thinking and his ability to apply abstract knowledge in various field.

Syllabus

Elementary Ring Theory. Euclidean Domains, Principal Ideal Domains and Unique Factorization Domains. Module Theory. Modules over polynomial rings. Finitely generated and free modules. Modules over Principal Ideal Domains. Decomposition Theorems. Applications to Linear Algebra and Abelian groups.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Mode of Instruction	Classroom (face-to-face).
Mode and Frequency of Communication with Students	Communication with students takes place through: Email. In-person meetings during office hours. During lectures. The frequency of communication with students is determined by their needs.
Ensuring Communication Among Students	Collaboration and interaction are encouraged within the context of course delivery.
Use of Information and Communications Technology	-
Required Technological Equipment and Technology Skills	No technological equipment is required from students, as all necessary equipment is provided. No specialized technology skills are required.
Course Policy on Plagiarism and Plagiarism Detection Tools	Plagiarism is strictly prohibited and is subject to progressively stricter penalties in the event of repeated offenses. It is monitored using plagiarism detection tools such as Turnitin, which is provided by the University Library.
Course Policy on the Use of Artificial Intelligence	The use of Artificial Intelligence is permitted only with the prior approval of the instructor.
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures (13X3) 39 Working independently 78 Exercises-Homeworks 33 Course total 150
Student Performance Evaluation	Final written exam in Greek (in case of Erasmus students in English) which includes resolving application problems.

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site. Books and other resources, not provided by Eudoxus:

• Μ. Μαλιάκας: «Εισαγωγή στη Μεταθετική Άλγεβρα», Εκδόσεις Σοφία.
• N. Jacobson: "Basic Algebra I", Dover Publications (1985).
• S. Lang: «Άλγεβρα», Εκδόσεις Πολιτεία (2010).