Undergraduate Elective 1039

• Ελληνικά
• English

Εξισώσεις Διαφορών - Διακριτά Μοντέλα

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAE816
Εξάμηνο	8
Τίτλος Μαθήματος	Εξισώσεις Διαφορών - Διακριτά Μοντέλα
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
Τύπος Μαθήματος	Ειδίκευσης
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Γλώσσα διδασκαλίας διαλέξεων: Ελληνικά Γλώσσα διδασκαλίας εκτός διαλέξεων: Ελληνικά και Αγγλικά Γλώσσα εξετάσεων: Ελληνικά και Αγγλικά
Τρόπος Διεξαγωγής Μαθήματος	Δια ζώσης (100%)
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά αποτελέσματα με βάση την Ταξινόμηση κατά Bloom: Γνώση: Οι έννοιες του Τελεστή Διαφοράς, του Τελεστή Άθροισης και του Τελεστή Μετατόπισης. Η έννοια του Διωνυμικού Συντελεστή και της Συνάρτησης Γάμμα. Η έννοια της Γεννήτριας Συνάρτησης. Η έννοια της εξίσωσης διαφορών. Η έννοια του z-Μετασχηματισμού. Οι έννοιες του Ευσταθούς Σταθερού Σημείου και του Ασυμπτωτικά Ευσταθούς Σημείου. Οι έννοιες της Συνάρτησης Liapunov και της Συνάρτησης Αυστηρά Liapunov. Η έννοια της Ευαίσθητης Εξάρτησης από τις Αρχικές Συνθήκες. Η έννοια της Ασυμπτωτικής Σχέσης μεταξύ συναρτήσεων. Οι έννοιες του “Όμικρον-μεγάλο” και “Όμικρον-μικρό”. Η έννοια της ομογενούς γραμμικής εξίσωσης τύπου Poincare. Η έννοια του Προβλήματος Συνοριακών Τιμών για Μη-Γραμμικές Εξισώσεις. Η έννοια της Μερικής Εξίσωσης Διαφορών. Κατανόηση: Βασικές ιδιότητες του Τελεστή Διαφοράς, του Τελεστή Άθροισης και του Τελεστή Μετατόπισης. Υπολογισμός Αόριστου Αθροίσματος. Επίλυση γραμμικών εξισώσεων διαφορών ορισμένων ειδικών μορφών. Εύρεση βασικού συνόλου λύσεων γραμμικών εξισώσεων διαφορών. Χρήση της Ορίζουσας Casorati για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων διαφορών. Χρήση των Γεννητριών Συναρτήσεων και του z-Μετασχηματισμού για τη επίλυση εξισώσεων διαφορών. Γραμμικοποίηση μη-γραμμικών εξισώσεων διαφορών. Μελέτη της ευστάθειας λύσεων εξισώσεων διαφορών και Θεωρία Floquet. Μελέτη της ευστάθειας μη-γραμμικών συστημάτων εξισώσεων διαφορών και χαοτική συμπεριφορά. Ασυμπτωτική προσέγγιση αθροισμάτων. Συναρτήσεις Green για προβλήματα συνοριακών τιμών εξισώσεων διαφορών. Ταλάντωση λύσεων εξισώσεων διαφορών. Μελέτη του Προβλήματος Sturm-Liouville. Μελέτη προβλημάτων συνοριακών τιμών για μη-γραμμικές εξισώσεις διαφορών. Μελέτη Μερικών Εξισώσεων Διαφορών. Εφαρμογή: Μελέτη προβλημάτων οικονομικού περιεχομένου. Μελέτη της εξέλιξης πληθυσμών. Μελέτη φυσικών διεργασιών και προβλημάτων που άπτονται της Φυσικής. Μελέτη προβλημάτων που άπτονται των Πιθανοτήτων. Μελέτη προβλημάτων που άπτονται της Επιδημιολογίας. Αξιολόγηση: Διδασκαλία μαθημάτων λυκειακού και πανεπιστημιακού επιπέδου.

Γενικές Ικανότητες

Προαγωγή της δημιουργικής, αναλυτικής και επαγωγικής σκέψης. Είναι προαπαιτούμενο για την παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών. Αυτόνομη εργασία. Ομαδική εργασία. Λήψη αποφάσεων.

Περιεχόμενο Μαθήματος

Λογισμός Διαφορών, Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών, Θεωρία Ευστάθειας, Ασυμπτωτικές Μέθοδοι, Το Πρόβλημα Sturm-Liouville, Προβλήματα Συνοριακών Τιμών για μη-Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών, Μερικές Εξισώσεις Διαφορών.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Διδασκαλίας	Διαλέξεις σε αμφιθέατρο. Υποβοήθηση της διδασκαλίας με τη χρήση Learning Management System (ενδεικτικά: Moodle).
Τρόπος και Συχνότητα Επικοινωνίας με Φοιτητές	Η επικοινωνία με τους φοιτητές γίνεται: Μέσω email. Δια ζώσης στο γραφείο. Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων. Η συχνότητα επικοινωνίας με τους φοιτητές καθορίζεται από τις ανάγκες των φοιτητών.
Διασφάλιση Τρόπου Επικοινωνίας Μεταξύ Φοιτητών	Συνέργεια στα πλαίσια της παράδοσης του μαθήματος.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών	Χρήση Learning Management System, σε συνδυασμό με File Sharing and Communication Platform για: τον διαμερισμό διδακτικού υλικού, την υποβολή εκ μέρους των φοιτητών εργασιών, την ενημέρωση των φοιτητών σχετικά με ότι αφορά το μάθημα, τη διατήρηση αναλυτικού βαθμολογίου για τις ενδοεξαμηνιαίες δραστηριότητες την επικοινωνία με τους φοιτητές. Χρήση Web Appointment Scheduling System για την οργάνωση των επισκέψεων των φοιτητών στο γραφείο του διδάσκοντα. Χρήση υπηρεσιών της Google για την υποβολή ανώνυμης κριτικής σχετικά με το μάθημα.
Απαιτούμενος Τεχνολογικός Εξοπλισμός και Γνώσεις Τεχνολογίας	Δεν απαιτείται τεχνολογικός εξοπλισμός, καθώς παρέχεται. Δεν απαιτούνται εξειδικευμένες γνώσεις τεχνολογίας.
Πολιτική Μαθήματος για τη Λογοκλοπή και Εργαλεία Ελέγχου Λογοκλοπής	Η λογοκλοπή απαγορεύεται ρητά και τιμωρείται κλιμακούμενα, ανάλογα με την επανάληψη της χρήσης της. Ελέγχεται, δε, με σχετικά εργαλεία όπως το "Turnitin", που παρέχει η Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου.
Πολιτική Μαθήματος για τη Χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης	Επιτρέπεται η χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης κατόπιν άδειας από τον διδάσκοντα/τη διδάσκουσα.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις (13Χ3) 39 Αυτοτελής Μελέτη 78 Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες 33 Σύνολο Μαθήματος 150
Αξιολόγηση Φοιτητών	Γλώσσα αξιολόγησης: Ελληνικά και Αγγλικά. Διαδικασία αξιολόγησης των φοιτητών: Εβδομαδιαίες γραπτές εργασίες. Μικρής διάρκειας, ολιγάριθμα διαγωνίσματα κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Μια απαλλακτική εξέταση κατά το τέλος του εξαμήνου και, σε κάθε περίπτωση, πριν την έναρξη της εξεταστικής περιόδου, στην οποία έχει δικαίωμα συμμετοχής περιορισμένος αριθμός φοιτητών με βάση τις αποδόσεις συμμετοχής στις εβδομαδιαίες εργασίες και στα διαγωνίσματα. Σε κάθε περίπτωση, όλοι ανεξαιρέτως οι φοιτητές έχουν δικαίωμα συμμετοχής στην Εξεταστική Περίοδο που έπεται του τέλους του Εξαμήνου. Όλα τα προαναφερθέντα, συμπεριλαμβανομένων όλων των σχετικών κριτηρίων, αναγράφονται λεπτομερώς στην ιστοσελίδα του μαθήματος. Γίνεται επεξήγηση τους, στις διαλέξεις, στην αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Γίνονται ενημερώσεις και υπενθυμίσεις μέσω της ιστοσελίδας του μαθήματος στην αρχή του εξαμήνου και, σε τακτά χρονικά διαστήματα, κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. Παρέχονται όσες διευκρινίσεις ζητηθούν μέσω email ή ιστοχώρων κοινωνικής δικτύωσης και των εφαρμογών τους.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.

Difference Equations - Discrete Models

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Undergraduate
Course Code	MAE816
Semester	8
Course Title	Difference Equations - Discrete Models
Independent Teaching Activities	Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 6)
Course Type	Special Background
Prerequisite Courses	-
Language of Instruction and Examinations	Language of Instruction (lectures): Greek Language of Instruction (activities other than lectures): Greek and English Language of Examinations: Greek and English
Mode of Course Delivery	Face-to-face (100%)
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

Remembering: The concept of the Difference Operator, the Summation Operator and the Shift Operator. The concept of Binomial Coefficient and the Gamma Function. The concept of the Generating Function. The concept of the Difference Equation. The concept of the z-Transformation. The concepts of the Stable Fixed Point and the Asymptotically Stable Fixed Point. The concepts of Liapunov Function and Strictly Liapunov Function. The concept of sensitive dependence on initial conditions. The concept of asymptotic relation between functions. The concepts of "O-big" and "O-small". The concept of the homogeneous linear Poincare-type equation. The concept of the boundary value problem for non-linear equations. The concept of Partial Difference Equations. Comprehension: Basic properties of the Difference Operator, the Summation Operator and the Shift Operator. Calculation of indefinite sums. Solving certain types of linear difference equations. Finding fundamental sets of solutions for linear difference equations. Using the Casorati determinant in order to solve linear difference equations. Using Generating Functions and z-Transformations in order to solve difference equations. Linearisation of non-linear difference equations. Studying the stability of the solutions of difference equations and the Floquet Theory. Studying the stability of non-linear systems of difference equations and chaotic behaviour. Asymptotic approximation of sums. Green Functions of boundary value problems for difference equations. Oscillation of solutions for difference equations. Studying the Sturm-Liouville problem. Studying boundary value problems for non-linear difference equations. Studying partial difference equations. Applying: Studying economy-related real world problems. Studying the growth or the decline of populations. Studying physics-related real world problems. Studying probabilities-related real world problems. Studying epidemiology-related real world problems. Evaluating: Teaching undergraduate and graduate courses.

General Competences

Creative, analytical and inductive thinking. Required for the creation of new scientific ideas. Working independently. Working in groups. Decision making.

Syllabus

The Difference Calculus, Linear difference equations, Stability theory, Asymptotic methods, The Sturm-Liouville problem, Boundary value problems for non-linear difference equations, Partial difference equations.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Mode of Instruction	Lectures in class. Learning Management System (e.g.: Moodle).
Mode and Frequency of Communication with Students	Communication with students takes place through: Email. In-person meetings during office hours. During lectures. The frequency of communication with students is determined by their needs.
Ensuring Communication Among Students	Collaboration and interaction are encouraged within the context of course delivery.
Use of Information and Communications Technology	Use of Learning Management System (e.g.: Moodle), combined with File Sharing and Communication Platform (e.g.: NextCloud) for distributing teaching material, submission of assignments, course announcements, gradebook keeping for all students evaluation procedures, communicating with students. Use of  Web Appointment Scheduling System (e.g.: Easy!Appointments) for organising office appointments. Use of Google services for submitting anonymous evaluations regarding the teacher.
Required Technological Equipment and Technology Skills	No technological equipment is required from students, as all necessary equipment is provided. No specialized technology skills are required.
Course Policy on Plagiarism and Plagiarism Detection Tools	Plagiarism is strictly prohibited and is subject to progressively stricter penalties in the event of repeated offenses. It is monitored using plagiarism detection tools such as Turnitin, which is provided by the University Library.
Course Policy on the Use of Artificial Intelligence	The use of Artificial Intelligence is permitted only with the prior approval of the instructor.
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures 39 Study and analysis of bibliography 78 Preparation of assignments and interactive teaching 33 Course total  150
Student Performance Evaluation	Language of evaluation: Greek and English. Methods of evaluation:  Weekly written assignments.  Few number of tests during the semester.  Based on their grades in the aforementioned weekly assignments and tests, limited number of students can participate in exams towards the end of the semester, before the beginning of the exams period.  In any case, all students can participate in written exams at the end of the semester, during the exams period. The aforementioned information along with all the required details are available through the course's website. The information is explained in detail at the beginning of the semester, as well as, throughout the semester, during the lectures. Reminders are also posted at the beginning of the semester and throughout the semester, through the course's website. Upon request, all the information is provided using email or social networks.

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site.