Undergraduate Elective 1055

• Ελληνικά
• English

Θεωρία Τελεστών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAE811
Εξάμηνο	8
Τίτλος Μαθήματος	Θεωρία Τελεστών
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
Τύπος Μαθήματος	Ειδίκευσης
Προαπαιτούμενα Μαθήματα	Δεν υπάρχουν, αλλά είναι επιθυμητή η επιτυχής εξέταση στο μάθημα «Μετρικοί χώροι και η Τοπολογία τους» και γνώσεις στοιχείων Συναρτησιακής Ανάλυσης.
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Τρόπος Διεξαγωγής Μαθήματος	Δια ζώσης (100%)
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Στόχος του μαθήματος η μελέτη των χώρων με εσωτερικό γινόμενο και των χώρων Hilbert (που στην ειδική περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων είναι οι γνωστοί ευκλείδειοι χώροι) και η μελέτη των φραγμένων γραμμικών απεικονίσεων (γραμμικών τελεστών) μεταξύ αυτών. Οι τελεστές αυτοί εμφανίζονται σε πολλούς κλάδους των θεωρητικών και των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Ενδεικτικά αναφέρουμε ότι εμφανίζονται σε Διαφορικές και Ολοκληρωτικές Εξισώσεις, στην Ανάλυση Fourier, στην κβαντομηχανική και την κβαντική θεωρία πληροφορίας. Η επιδίωξη είναι οι τελεστές αυτοί να μετασχηματιστούν (όπου αυτό είναι εφικτό) σε διαγώνιους τελεστές ως προς κατάλληλες «βάσεις». Θα μελετηθούν κλάσεις τελεστών για τις οποίες αυτό το αποτέλεσμα επιτυγχάνεται.

Γενικές Ικανότητες

Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών Αυτόνομη εργασία Ομαδική εργασία Άσκηση κριτικής και αυτοκριτικής

Περιεχόμενο Μαθήματος

Χώροι με εσωτερικό γινόμενο, χώροι Hilbert, βασικές ιδιότητες. Ορθοκανονικά σύνολα και ορθοκανονικές βάσεις σε χώρους Hilbert. Φραγμένοι τελεστές, συζυγείς τελεστές, ορθές προβολές. Τελεστές πεπερασμένης τάξης, συμπαγείς τελεστές. Διαγωνοποίηση τελεστών, το φασματικό θεώρημα για συμπαγείς φυσιολογικούς τελεστές.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Διδασκαλίας	Η διδασκαλία γίνεται με διαλέξεις στον πίνακα από το διδάσκοντα.
Τρόπος και Συχνότητα Επικοινωνίας με Φοιτητές	Η επικοινωνία με τους φοιτητές γίνεται: Μέσω email. Δια ζώσης στο γραφείο. Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων. Η συχνότητα επικοινωνίας με τους φοιτητές καθορίζεται από τις ανάγκες των φοιτητών.
Διασφάλιση Τρόπου Επικοινωνίας Μεταξύ Φοιτητών	Συνέργεια στα πλαίσια της παράδοσης του μαθήματος.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών	Χρήση email και ecourse για επικοινωνία με τον διδάσκοντα.
Απαιτούμενος Τεχνολογικός Εξοπλισμός και Γνώσεις Τεχνολογίας	Δεν απαιτείται τεχνολογικός εξοπλισμός, καθώς παρέχεται. Δεν απαιτούνται εξειδικευμένες γνώσεις τεχνολογίας.
Πολιτική Μαθήματος για τη Λογοκλοπή και Εργαλεία Ελέγχου Λογοκλοπής	Η λογοκλοπή απαγορεύεται ρητά και τιμωρείται κλιμακούμενα, ανάλογα με την επανάληψη της χρήσης της. Ελέγχεται, δε, με σχετικά εργαλεία όπως το "Turnitin", που παρέχει η Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου.
Πολιτική Μαθήματος για τη Χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης	Επιτρέπεται η χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης κατόπιν άδειας από τον διδάσκοντα/τη διδάσκουσα.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις (13Χ3) 39 Αυτοτελής Μελέτη 78 Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες 33 Σύνολο Μαθήματος 150
Αξιολόγηση Φοιτητών	Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου (υποχρεωτική), ενδιάμεση εξέταση (προαιρετική) και παράδοση εργασιών από τους φοιτητές σειράς ασκήσεων (προαιρετική).

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.

Operator Theory

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Undergraduate
Course Code	MAE811
Semester	8
Course Title	Operator Theory
Independent Teaching Activities	Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 6)
Course Type	Special Background
Prerequisite Courses	-
Language of Instruction and Examinations	Greek
Mode of Course Delivery	Face-to-face (100%)
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes (in English)
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

The goal of the course is the study of inner product and Hilbert spaces (which in the case of finite dimensional spaces are the well-known Euclidean spaces) and the study of bounded, but also of non-bounded, linear maps (linear operators) between them. These operators appear in many branches of theoretical and applied mathematics. For example, they appear in Differential and Integral equations, in Fourier analysis, in quantum mechanics and in quantum information theory. The aim is to transform these operators (where it is possible) into diagonal operators with respect to appropriate "bases". Classes of operators will be studied for which this result is achieved.

General Competences

Analyse and combine data and information using various technologies. Working independently and in groups. Free, creative, analytic, and conclusive thinking. Decision making.

Syllabus

Spaces with inner product, Hilbert spaces, basic properties. Orthonormal sets and orthonormal bases in Hilbert spaces. Bounded operators, adjoint operators, orthogonal projections. Finite-order operators, compact operators, Fredholm's Alternative. Operator diagonalization, the spectral theorem for compact normal and in particular self-adjoint operators. Unbounded linear operators.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Mode of Instruction	Teaching on the blackboard from the teacher.
Mode and Frequency of Communication with Students	Communication with students takes place through: Email. In-person meetings during office hours. During lectures. The frequency of communication with students is determined by their needs.
Ensuring Communication Among Students	Collaboration and interaction are encouraged within the context of course delivery.
Use of Information and Communications Technology	-
Required Technological Equipment and Technology Skills	No technological equipment is required from students, as all necessary equipment is provided. No specialized technology skills are required.
Course Policy on Plagiarism and Plagiarism Detection Tools	Plagiarism is strictly prohibited and is subject to progressively stricter penalties in the event of repeated offenses. It is monitored using plagiarism detection tools such as Turnitin, which is provided by the University Library.
Course Policy on the Use of Artificial Intelligence	The use of Artificial Intelligence is permitted only with the prior approval of the instructor.
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures 39 Individual study 78 Solving exercises-homework 33 Course total  150
Student Performance Evaluation	Exams in the end of the semester (mandatory), intermediate exams (optional), assignments of exercises during the semester (optional).

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site.