Undergraduate Compulsory 1015

• Ελληνικά
• English

Θεμελιώδεις Έννοιες Μαθηματικών

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAY112
Εξάμηνο	1
Τίτλος Μαθήματος	Θεμελιώδεις Έννοιες Μαθηματικών
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις, παρουσιάσεις και ασκήσεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 5, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος	Επιστημονικής Περιοχής
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Στο μάθημα αυτό ο φοιτητής εξοικειώνεται αρχικά με βασικά εργαλεία-έννοιες των μαθηματικών από τη λογική των προτάσεων, τη θεωρία συνόλων (πράξεις συνόλων και ιδιότητες αυτών), τις διμελείς σχέσεις και τις συναρτήσεις. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται σε συνακόλουθες έννοιες των παραπάνω, όπως, οι έννοιες των συλλογών και οικογενειών συνόλων (καλύψεις, διαμερίσεις), οι έννοιες των φραγμάτων (max, min, inf, sup), καθώς και οι έννοιες της εικόνας και αντίστροφης εικόνας συνόλων μέσω συναρτήσεων. Μέρος του κορμού αυτού του μαθήματος είναι η αξιωματική θεμελίωση του συνόλου των πραγματικών αριθμών που πρέπει να αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι της συγκρότησης ενός μαθηματικού. Έτσι, ο φοιτητής μαθαίνει από το πρώτο εξάμηνο των σπουδών του ότι το βασικό πεδίο της καθημερινής του ασχολίας και έρευνας, το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δεν είναι αποτέλεσμα εμπειρικής προσέγγισης αλλά συστηματικής αξιωματικής θεμελίωσης. Παράλληλα, έμμεσα αλλά με σαφή τρόπο, ο φοιτητής ανακαλύπτει την αξία και τη σκοπιμότητα της αξιωματικής θεμελίωσης στην κατασκευή μαθηματικών δομών. Τέλος, με το ενότητα που αναφέρεται στους πληθικούς αριθμούς των συνόλων ο φοιτητής, εκτός από την αριθμητική των πληθικών αριθμών των πεπερασμένων συνόλων συστηματοποιεί τα είδη των απεράντων συνόλων (αριθμήσιμα, το πολύ αριθμήσιμα, υπεραριθμήσιμα), προσεγγίζει με αυστηρό τρόπο την έννοια του απείρου και κατατάσσει σε σχέση με την έννοια αυτή σύνολα που χρησιμοποιεί καθημερινά, όπως, το σύνολο των φυσικών αριθμών, το σύνολο των ακεραίων αριθμών το σύνολο των ρητών αριθμών και το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η αφομοίωση των γνώσεων αυτών, συντελεί σε μεγάλο βαθμό στην απόκτηση ενός καλού και ποιοτικού βάθρου ώστε να μπορεί ο φοιτητής να αντιμετωπίσει με μαθηματική αυστηρότητα και επάρκεια, θέματα απ’ όλους τους κλάδους των Μαθηματικών.

Γενικές Ικανότητες

Ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών Αυτόνομη εργασία Ομαδική εργασία Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον Προαγωγή δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης Προαγωγή της αναλυτικής και συνθετικής σκέψης

Περιεχόμενο Μαθήματος

Ορισμοί τριγωνομετρικών αριθμών, τριγωνομετρικός κύκλος. Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών και διπλασίου τόξου. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. Μετασχηματισμός γινομένων σε αθροίσματα και αθροισμάτων σε γινόμενα. Λογικές προτάσεις. Προτασιακός Λογισμός. Ταυτολογίες. Βασική θεωρία συνόλων. Ένωση, τομή, διαφορά, συμμετρική διαφορά συνόλων και ιδιότητες των πράξεων αυτών. Δυναμοσύνολο και συμπλήρωμα συνόλου. Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων. Η έννοια της συλλογής συνόλων. Σχέσεις. Σύνθεση σχέσεων. Ιδιότητες των σχέσεων. Σχέσεις ισοδυναμίας, κλάσεις ισοδυναμίας. Σχέσεις διάταξης. Φράγματα και φραγμένα σύνολα. Καλά διατεταγμένα σύνολα. Αρχή επαγωγής, αρχή της υπερπεπερασμένης επαγωγής. Συναρτήσεις. Βασικές έννοιες. Αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση, επί συνάρτηση. Αντίστροφη συνάρτηση. Εικόνα και αντίστροφη εικόνα ενός συνόλου μέσω μιας συνάρτησης. Συναρτήσεις και διατεταγμένα σύνολα. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αξιωματική θεμελίωση. Το σύνολο των φυσικών αριθμών. Το σύνολο των ακεραίων αριθμών. Το σώμα των ρητών αριθμών. Ρίζες μη αρνητικών πραγματικών αριθμών. Το σύνολο των αρρήτων αριθμών. Ισοδύναμα σύνολα. Τα αρχικά τμήματα των φυσικών αριθμών. Πεπερασμένα σύνολα. Άπειρα σύνολα. Το θεώρημα των Schröder-Bernstein. Αριθμήσιμα σύνολα. Το πολύ αριθμήσιμα σύνολα. Υπεραριθμήσιμα σύνολα. Το Θεώρημα του Cantor. Το αξίωμα της επιλογής. Ισοδύναμα του αξιώματος της επιλογής.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Διαλέξεις-παρουσιάσεις στην αίθουσα.
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών	Χρήση ειδικού λογισμικού (TEX, Mathenatica, κλπ) για την παρουσίαση εργασιών και ασκήσεων.
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις (13Χ5) 65 Αυτοτελής Μελέτη 100 Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες 22.5 Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών	Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου σε θέματα της θεωρίας του μαθήματος, καθώς και σε ασκήσεις-προβλήματα σχετικά με τη θεωρία.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.
Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

Fundamental Concepts of Mathematics

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Undergraduate
Course Code	MAY112
Semester	1
Course Title	Fundamental Concepts of Mathematics
Independent Teaching Activities	Lectures (Weekly Teaching Hours: 5, Credits: 7.5)
Course Type	General Background
Prerequisite Courses	-
Language of Instruction and Examinations	Greek
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes (in English)
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

As a first step, the students get familiar with basic tools of logic, set theory (set operations and properties), relations and functions. Emphasis is given to notions such as collections and families (coverings) bounds (max, min, sup, inf) as well as to images and pre-images of sets under functions. Part of the kernel of the course is a detailed axiomatic construction of the real numbers aiming that the students acknowledge this set as result of an axiomatic construction rather than of an empiric approach, yet the value and the significancy of the axiomatic foundation of mathematical structures be apparent. In the section concerning cardinality of sets, besides arithmetic of finite sets, students classify types of infinite sets (finite, numerable, denumerable) and approach in an abstract way the notion of infinity in relation with sets in common use as the sets of naturals, integers, rationals, and reals. A major course learning outcome is that assimilation of the offered knowledge will create a good qualitative background so that students be able to proceed with adequacy to studying other branches of mathematics.

General Competences

Analysis and synthesis of data and information Individual work Team work Production of creative and inductive thinking Production of analytical and synthetic thinking

Syllabus

Definition of trigonometric numbers, trigonometric cycle. Trigonometric numbers of the sum of two angles and trigonometric numbers of the double of an arc. Trigonometrical functions. Trigonometrical equations. Transformations of products to sum and of sums to products. Elements of Logic. Basic set theory, operations and properties, power set, Cartesian products, collections. Relations, properties, equivalence relations, order relations, bounded sets, well ordered sets, principle of infinite reduction, functions, one to one functions, onto functions. Image and preimage of a set, functions and ordered sets. Families. The set of real numbers: axiomatic approach. The sets of natural numbers, integers. The field of rational numbers. Roots of nonnegative real numbers. The set if irrational numbers. The axiom of completeness and equivalent statements. Equivalent sets. Finite sets. Infinite sets. Schroder-Bernstein theorem. Numerable sets. At most numerable sets. Denumerable sets. Cantor’ theorem. Axiom of Choice and equivalent statements. A first approach to the necessity of an axiomatic foundation of sets.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Delivery	Face-to-face
Use of Information and Communications Technology	Use of ICT (Tex, Mathematica etc.) for presentation of essays and assignments.
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures 65 Study and analysis of bibliography 22.5 Preparation of assignments and interactive teaching 100 Course total 187.5
Student Performance Evaluation	Written examination at the end of the semester including theory and problems-exercises.

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site.
Books and other resources, not provided by Eudoxus:

• K. G. Binmore, Logic, Sets and Numbers, Cambridge University Press, 1980.
• W. W. Fairchild and C. I. Tulcea, Sets, W. B. Shaunders Co. Philadelphia, 1970.
• S. Lipschutz, Set Theory and Related Topics, Schaum’s Outline Series, New York, 1965.
• D. Van Dalen, H. C. Doets and H. Deswart, Sets: Naïve, Axiomatic and Applied, Pergamon Press, Oxford, 1987.