Postgraduate Section 4 1007: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Από Περιγράμματα - Τμήμα Μαθηματικών
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Νεότερη επεξεργασία →
ΟπτικήΚώδικας wiki
Νέα σελίδα με '{{DISPLAYTITLE:<span style="position: absolute; clip: rect(1px 1px 1px 1px); clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px);">{{FULLPAGENAME}}</span>}} <ul class="nav nav-pills mb-2 justify-content-end" id="pills-tab-lang" role="tablist"> <li class="nav-item"><btn id="pills-gr-tab" data-toggle="pill" class="nav-link active" role="tab" aria-controls="pills-gr" aria-selected="true">#pills-gr|Ελληνικά</btn></li> <li class="nav-item"><btn id="pills-en-tab" data-toggle="pill"...'
 
Ktzuvara (συζήτηση | συνεισφορές)
827 επεξεργασίες
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Γραμμή 4: Γραμμή 4:
<div id="pills-gr" class="tab-pane fade show active" role="tabpanel" aria-labelledby="pills-gr-tab" style="text-align:left;">
<div id="pills-gr" class="tab-pane fade show active" role="tabpanel" aria-labelledby="pills-gr-tab" style="text-align:left;">


<div align = center>
== '''Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων''' ==
</div>




Γραμμή 26: Γραμμή 29:
|-
|-
! Τίτλος Μαθήματος
! Τίτλος Μαθήματος
| ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΝΗΘΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
| Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων
|-
|-
! Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες
! Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες
Γραμμή 46: Γραμμή 49:
| Δείτε το [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
| Δείτε το [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
|}
|}


=== Μαθησιακά Αποτελέσματα ===
=== Μαθησιακά Αποτελέσματα ===
Γραμμή 66: Γραμμή 67:
* Εξοικείωση με βασικές αριθμητικές μεθόδους για διαφορικές εξισώσεις.
* Εξοικείωση με βασικές αριθμητικές μεθόδους για διαφορικές εξισώσεις.
|}
|}


=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===
=== Περιεχόμενο Μαθήματος ===


{| class="wikitable"
|
* Στοιχειώδης εισαγωγή στη θεωρία του προβλήματος αρχικών τιμών.
* Στοιχειώδης εισαγωγή στη θεωρία του προβλήματος αρχικών τιμών.
* Λεπτομερής μελέτη των μεθόδων του Euler: τάξη ακρίβειας, ιδιότητες ευστάθειας, A-ευστάθεια και B-ευστάθεια, εκτίμηση του σφάλματος υπό διάφορες συνθήκες Lipschitz, όπως η ολική, η τοπική και η μονόπλευρη, εκ των προτέρων και εκ των υστέρων εκτιμήσεις των σφαλμάτων.
* Λεπτομερής μελέτη των μεθόδων του Euler: τάξη ακρίβειας, ιδιότητες ευστάθειας, A-ευστάθεια και B-ευστάθεια, εκτίμηση του σφάλματος υπό διάφορες συνθήκες Lipschitz, όπως η ολική, η τοπική και η μονόπλευρη, εκ των προτέρων και εκ των υστέρων εκτιμήσεις των σφαλμάτων.
Γραμμή 78: Γραμμή 79:
* Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών για το πρόβλημα δύο σημείων.
* Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών για το πρόβλημα δύο σημείων.
* Μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων: κατασκευή χώρων πεπερασμένων στοιχείων για διάφορες συνοριακές συνθήκες, μέθοδοι Galerkin και Ritz, το τέχνασμα του Nitsche. Ανάλυση σφάλματος στην περίπτωση μη (θετικά) ορισμένου τελεστή.
* Μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων: κατασκευή χώρων πεπερασμένων στοιχείων για διάφορες συνοριακές συνθήκες, μέθοδοι Galerkin και Ritz, το τέχνασμα του Nitsche. Ανάλυση σφάλματος στην περίπτωση μη (θετικά) ορισμένου τελεστή.
 
|}
 


=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===
=== Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση ===
Γραμμή 113: Γραμμή 113:
| Ενδιάμεσες γραπτές εξετάσεις καθώς και τελική γραπτή εξέταση με ερωτήματα ανάπτυξης επιχειρημάτων για επίλυση προβλημάτων και ασκήσεων.
| Ενδιάμεσες γραπτές εξετάσεις καθώς και τελική γραπτή εξέταση με ερωτήματα ανάπτυξης επιχειρημάτων για επίλυση προβλημάτων και ασκήσεων.
|}
|}


=== Συνιστώμενη Βιβλιογραφία ===
=== Συνιστώμενη Βιβλιογραφία ===


Δείτε την υπηρεσία [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Εύδοξος]. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:
Δείτε την υπηρεσία [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Εύδοξος].  
* ---
<!--Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:  
* --- -->
</div>
</div>


<div id="pills-en" class="tab-pane fade" role="tabpanel" aria-labelledby="pills-en-tab" style="text-align:left;">
<div id="pills-en" class="tab-pane fade" role="tabpanel" aria-labelledby="pills-en-tab" style="text-align:left;">


 
<div align = center>
== '''Numerical Solution of Ordinary Differential Equations''' ==
</div>


=== General ===
=== General ===
Γραμμή 166: Γραμμή 167:
| See [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.
| See [https://ecourse.uoi.gr/ eCourse], the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.
|}
|}


=== Learning Outcomes ===
=== Learning Outcomes ===
Γραμμή 188: Γραμμή 187:
* Familiarity with numerical methods for initial as well as for boundary value problems.
* Familiarity with numerical methods for initial as well as for boundary value problems.
|}
|}


=== Syllabus ===
=== Syllabus ===


{| class="wikitable"
|
* Short introduction to the theory of initial value problems.
* Short introduction to the theory of initial value problems.
* Analysis of the Euler methods: order of accuracy; stability properties, A-stability and B-stability; error estimates under various Lipschitz conditions (global, local and one-sided); a posteriori error estimates.
* Analysis of the Euler methods: order of accuracy; stability properties, A-stability and B-stability; error estimates under various Lipschitz conditions (global, local and one-sided); a posteriori error estimates.
Γραμμή 200: Γραμμή 199:
* Finite difference methods for the two-point boundary value problem.
* Finite difference methods for the two-point boundary value problem.
* Finite element method: construction of finite element spaces for various boundary conditions, Galerkin and Ritz methods, the Nitsche trick. Error estimates in the case of indefinite operators.
* Finite element method: construction of finite element spaces for various boundary conditions, Galerkin and Ritz methods, the Nitsche trick. Error estimates in the case of indefinite operators.
 
|}
 


=== Teaching and Learning Methods - Evaluation ===
=== Teaching and Learning Methods - Evaluation ===
Γραμμή 236: Γραμμή 234:
Mid-term and final written examinations
Mid-term and final written examinations
|}
|}


=== Attached Bibliography ===
=== Attached Bibliography ===


See the official [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Eudoxus site]. Books and other resources, not provided by Eudoxus:
See the official [https://service.eudoxus.gr/public/departments#20 Eudoxus site].  
* ---
<!--Books and other resources, not provided by Eudoxus:
* --- -->
</div>
</div>
 
<!--
<div style="text-align:left;">
<div style="text-align:left;">
</div> -->


 
</div>
</div> </div>

Αναθεώρηση της 23:33, 22 Μαρτίου 2026


Γενικά

Σχολή Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών Μεταπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος ΑΑ5
Εξάμηνο 1
Τίτλος Μαθήματος Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
Τύπος Μαθήματος Ειδικού υποβάθρου
Προαπαιτούμενα Μαθήματα -
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL) Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα Στο μάθημα δίνεται μια στοιχειώδης εισαγωγή στη θεωρία προβλημάτων αρχικών τιμών για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις και μελετώνται αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης τέτοιων προβλημάτων καθώς και αριθμητικές μέθοδοι για το πρόβλημα δύο σημείων. Βασική επιδίωξη είναι η κατανόηση των θεμελιωδών ποιοτικών χαρακτηριστικών αριθμητικών μεθόδων για προβλήματα αρχικών τιμών, όπως η συνέπεια και η τάξη ακρίβειας, διάφορες ιδιότητες ευστάθειας κ.λπ. Αποσκοπεί επίσης στην εξοικείωση με τις κύριες κατηγορίες αριθμητικών μεθόδων για προβλήματα αρχικών τιμών καθώς και για προβλήματα συνοριακών τιμών. Έπειτα από επιτυχή συμμετοχή στο μάθημα οι φοιτητές αναμένεται να:
  • Κατανοούν τα βασικά ζητήματα για προβλήματα αρχικών τιμών καθώς και για το πρόβλημα δύο σημείων και μπορούν να επιλύσουν κάποιες απλές διαφορικές εξισώσεις.
  • Αντιλαμβάνονται τον ρόλο της συνέπειας, της τάξης ακρίβειας και διαφόρων ιδιοτήτων ευστάθειας αριθμητικών μεθόδων για προβλήματα αρχικών τιμών.
  • Γνωρίζουν τις βασικές αριθμητικές μεθόδους για προβλήματα αρχικών τιμών, καθώς και τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά τους.
  • Γνωρίζουν τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών καθώς και τα βασικά για τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων.
Γενικές Ικανότητες
  • Προαγωγή ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης
  • Αξιοποίηση, εμπέδωση, εμβάθυνση και εφαρμογή μαθηματικών γνώσεων.
  • Εξοικείωση με βασικές αριθμητικές μεθόδους για διαφορικές εξισώσεις.

Περιεχόμενο Μαθήματος

  • Στοιχειώδης εισαγωγή στη θεωρία του προβλήματος αρχικών τιμών.
  • Λεπτομερής μελέτη των μεθόδων του Euler: τάξη ακρίβειας, ιδιότητες ευστάθειας, A-ευστάθεια και B-ευστάθεια, εκτίμηση του σφάλματος υπό διάφορες συνθήκες Lipschitz, όπως η ολική, η τοπική και η μονόπλευρη, εκ των προτέρων και εκ των υστέρων εκτιμήσεις των σφαλμάτων.
  • Μέθοδοι των Runge-Kutta και μέθοδοι συνεγγισμού: ιδιότητες ευστάθειας, τάξη ακρίβειας, μέθοδοι με μεταβλητό βήμα, ζεύγη μεθόδων για αυτόματη επιλογή βήματος.
  • Πολυβηματικές μέθοδοι: στοιχεία από τη θεωρία των εξισώσεων διαφορών, συνθήκη των ριζών και ευστάθεια, τάξη ακρίβειας, μονοσκελής εκδοχή πολυβηματικών μεθόδων και G-ευστάθεια.
  • Εισαγωγή στη θεωρία του προβλήματος δύο σημείων: μέθοδος της ενέργειας, ελλειπτική ομαλότητα.
  • Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών για το πρόβλημα δύο σημείων.
  • Μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων: κατασκευή χώρων πεπερασμένων στοιχείων για διάφορες συνοριακές συνθήκες, μέθοδοι Galerkin και Ritz, το τέχνασμα του Nitsche. Ανάλυση σφάλματος στην περίπτωση μη (θετικά) ορισμένου τελεστή.

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης Στην τάξη
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών -
Οργάνωση Διδασκαλίας
Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
Διαλέξεις 39
Αυτοτελής Μελέτη 78
Επίλυση Ασκήσεων - Εργασίες 70.5
Σύνολο Μαθήματος 187.5
Αξιολόγηση Φοιτητών Ενδιάμεσες γραπτές εξετάσεις καθώς και τελική γραπτή εξέταση με ερωτήματα ανάπτυξης επιχειρημάτων για επίλυση προβλημάτων και ασκήσεων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.

Numerical Solution of Ordinary Differential Equations

General

School School of Science
Academic Unit Department of Mathematics
Level of Studies Graduate
Course Code AA5
Semester 1
Course Title Numerical Solution of Ordinary Differential Equations
Independent Teaching Activities Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5)
Course Type Special Background
Prerequisite Courses -
Language of Instruction and Examinations Greek
Is the Course Offered to Erasmus Students Yes (in English)
Course Website (URL) See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

Numerical methods for initial value problems for ordinary differential equations are studied in this course; an introduction to numerical methods for the two-point boundary value problem is also given. Learning Objectives: Understanding the basic facts for initial value problems and the two-point boundary value problem. Understanding the fundamental qualitative characteristics of numerical methods for initial value problems, like consistency, order of accuracy, stability and convergence. It is expected that after taking the course the student will have:

  • Understand the basic facts for initial value problems as well as for the two-point boundary value problem.
  • Know the basic numerical methods for initial value problems and are familiar with their advantages and drawbacks.
  • Understand the role of consistency, order of accuracy and stability of numerical methods for initial value problems.
  • Know the basic numerical methods for initial value problems.
  • Know the basic properties of finite difference and finite element methods for the two-point boundary value problem.
General Competences
  • Production of free, creative and inductive thinking.
  • Consolidation, deepening and application of mathematical knowledge.
  • Familiarity with numerical methods for initial as well as for boundary value problems.

Syllabus

  • Short introduction to the theory of initial value problems.
  • Analysis of the Euler methods: order of accuracy; stability properties, A-stability and B-stability; error estimates under various Lipschitz conditions (global, local and one-sided); a posteriori error estimates.
  • Runge-Kutta and collocation methods: stability properties, order of accuracy, embedded pairs of methods and adaptive time step selection.
  • Multistep methods: elements of the theory of difference equations, the root condition and stability, order of accuracy, one-leg methods, and G-stability.
  • Introduction to the theory of the two-point boundary value problem: energy method and elliptic regularity.
  • Finite difference methods for the two-point boundary value problem.
  • Finite element method: construction of finite element spaces for various boundary conditions, Galerkin and Ritz methods, the Nitsche trick. Error estimates in the case of indefinite operators.

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Delivery In the class
Use of Information and Communications Technology -
Teaching Methods
Activity Semester Workload
Lectures 39
Working Independently 78
Exercise - Homework 70.5
Course total 187.5
Student Performance Evaluation

Mid-term and final written examinations

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site.

Ανακτήθηκε από «https://outlines.math.uoi.gr/index.php?title=Postgraduate_Section_4_1007&oldid=504»