Undergraduate Elective 1089

• Ελληνικά
• English

Γενικά

Σχολή	Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα	Τμήμα Μαθηματικών
Επίπεδο Σπουδών	Προπτυχιακό
Κωδικός Μαθήματος	MAE646
Εξάμηνο	6
Τίτλος Μαθήματος	Τεχνικές Μαθηματικής Μοντελοποίησης
Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες	Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
Τύπος Μαθήματος	Ειδίκευσης
Προαπαιτούμενα Μαθήματα
Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων	Ελληνική
Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus	Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)	Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Το μάθημα αποτελεί μια πρώτη εισαγωγή στις βασικές μεθόδους Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και ειδικότερα στη θεωρία διαταραχών. Υπάρχουν πολλές καταστάσεις στα μαθηματικά όπου συναντά κανείς εκφράσεις που δεν μπορούν να υπολογιστούν με απόλυτη ακρίβεια, ή όπου ακριβείς απαντήσεις είναι υπερβολικά πολύπλοκες για να δώσουν χρήσιμες πληροφορίες. Σε πολλές από αυτές τις περιπτώσεις είναι δυνατόν να βρεθεί μια σχετικά απλή προσέγγιση που σε πρακτικό επίπεδο είναι εξίσου καλή με την πλήρη λύση. Η ασυμπτωτική ανάλυση ασχολείται με μεθόδους για τη εύρεση τέτοιων προσεγγίσεων και έχει ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών, τόσο στα πεδία των καθαρών μαθηματικών, όπως Συνδυαστική, πιθανοτήτων, θεωρία αριθμών, καθώς και των εφαρμοσμένων μαθηματικών και την επιστήμη των υπολογιστών, για παράδειγμα, στην ανάλυση του χρόνου εκτέλεσης των αλγορίθμων. Ο στόχος αυτού του μαθήματος είναι να εισαγάγει μερικές από τις βασικές τεχνικές και να εφαρμοστούν αυτές οι μέθοδοι σε μια ποικιλία προβλημάτων. Με την ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής θα είναι σε θέση να: Αναγνωρίσουν την πρακτική αξία των μικρών ή μεγάλων παραμέτρων για τον υπολογισμό μαθηματικών εκφράσεων. Κατανοήσουν την έννοια της (αποκλίνουσας) ασυμπτωτικής σειράς, και να διακρίνουν μεταξύ κανονικών (regular) και ιδιόμορφων (singular) προβλημάτων διαταραχής. Βρουν τις κυρίαρχες συμπεριφορές σε αλγεβρικές και διαφορικές εξισώσεις με μικρή και μεγάλη παράμετρο. Υπολογίζουν κυρίαρχη συμπεριφορά σε ολοκληρώματα με μικρή παράμετρο. Βρουν (σε συγκεκριμένες περιπτώσεις) την πλήρη ασυμπτωτική συμπεριφορά ολοκληρωμάτων. Προσδιορίζουν οριακά στρώματα στις λύσεις διαφορικών εξισώσεων, και να εφαρμόζουν αντίστοιχες προσεγγίσεις για τον υπολογισμό κυρίαρχων λύσεων.

Γενικές Ικανότητες

Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις Λήψη Αποφάσεων

Περιεχόμενο Μαθήματος

Εισαγωγή και συμβολισμός θεωρίας διαταραχών. Κανονικές και ιδιόμορφες διαταραχές. Ασυμπτωτικά αναπτύγματα ολοκληρωμάτων. Ασυμπτωτικές λύσεις γραμμικών και μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Μετασχηματισμοί Laplace και Fourier (αν ο χρόνος το επιτρέπει).

Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση

Τρόπος Παράδοσης	Στην τάξη
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Οργάνωση Διδασκαλίας	Δραστηριότητα Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου Διαλέξεις (13Χ3) 39 Αυτοτελής Μελέτη 78 Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες 33 Σύνολο Μαθήματος 150
Αξιολόγηση Φοιτητών	Εβδομαδιαίες ασκήσεις Τελική εργασία Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:

General

School	School of Science
Academic Unit	Department of Mathematics
Level of Studies	Undergraduate
Course Code	MAE646
Semester	6
Course Title	Techniques of Mathematical Modelling
Independent Teaching Activities	Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 6)
Course Type	Special Background
Prerequisite Courses	-
Language of Instruction and Examinations	Greek
Is the Course Offered to Erasmus Students	Yes (in English)
Course Website (URL)	See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.

Learning Outcomes

Learning outcomes

The course is a first introduction to the basic methods of applied mathematics and particularly in perturbation theory. There are many situations in mathematics where one finds expressions that cannot be calculated with absolute precision, or where exact answers are too complicated to provide useful information. In many of these cases, it is possible to find a relatively simple expression which, in practice, is just as good as the complete, exact solution. The asymptotic analysis deals with methods for finding such approximations and has a wide range of applications, both in the fields of pure mathematics such as combinatorics, probability, number theory and applied mathematics and computer science, for example, the analysis of runtime algorithms. The goal of this course is to introduce some of the basic techniques and to apply these methods to a variety of problems. Upon completion of this course students will be able to: Recognize the practical value of small or large parameters for calculating mathematical expressions. Understand the concept of (divergent) asymptotic series, and distinguish between regular and singular perturbations. Find dominant behaviors in algebraic and differential equations with small and large parameters. Calculate dominant behavior of integrals with a small parameter. Find a (in particular cases) the full asymptotic behavior of integrals. Identify the boundary layers in solutions of differential equations, and apply appropriate expansions to calculate the dominant solutions.

General Competences

* Search for, analysis and synthesis of data and information, with the use of the necessary technology. Adapting to new situations. Decision-making.

Syllabus

Introduction and notation of perturbation theory. Regular and singular perturbations. Asymptotic expansions of integrals. Asymptotic solutions of linear and nonlinear differential equations. Laplace and Fourier transforms (if time permits).

Teaching and Learning Methods - Evaluation

Delivery	Face to face
Use of Information and Communications Technology	Yes
Teaching Methods	Activity Semester Workload Lectures 39 Self study 78 Exercises 33 Course total 150
Student Performance Evaluation	Weekly homework Final project Final exam

Attached Bibliography

See the official Eudoxus site. Books and other resources, not provided by Eudoxus:

• C. M. Bender, S. A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers: Asymptotic Methods and Perturbation Theory, Springer, 1999.
• E. J. Hinch, Perturbation Methods, Cambridge University Press, 1991.
• A. H. Nayfeh, Perturbation Methods, Wiley-Interscience, 1973.