Γενικά
| Σχολή
|
Σχολή Θετικών Επιστημών
|
| Τμήμα
|
Τμήμα Μαθηματικών
|
| Επίπεδο Σπουδών
|
Προπτυχιακό
|
| Κωδικός Μαθήματος
|
MAE849
|
| Εξάμηνο
|
8
|
| Τίτλος Μαθήματος
|
Λογισμός Μεταβολών
|
| Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες
|
Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
|
| Τύπος Μαθήματος
|
Ειδίκευσης
|
| Προαπαιτούμενα Μαθήματα
|
|
| Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
|
Ελληνική
|
| Τρόπος Διεξαγωγής Μαθήματος
|
Δια ζώσης (100%)
|
| Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus
|
Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
|
| Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
|
Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
|
Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Μαθησιακά Αποτελέσματα
|
Ο Λογισμός των Μεταβολών ασχολείται με προβλήματα βελτιστοποίησης, όπου οι μεταβλητές, αντί να είναι πεπερασμένης διάστασης όπως στον συνηθισμένο λογισμό, είναι συναρτήσεις. Αυτό το μάθημα αντιμετωπίζει τα θεμέλια του λογισμού των μεταβολών και παραθέτει παραδείγματα σε μερικές (κλασικές και σύγχρονες φυσικές εφαρμογές. Με το πέρας του μαθήματος ο φοιτητής θα είναι ικανός:
- να περιγράψει τα θεμέλια του λογισμού των μεταβολών και των εφαρμογών του στα μαθηματικά και τη φυσική.
- να περιγράψει μαθηματικά και να επιλύσει το πρόβλημα του βραχυστόχρονου .
- να επιλύσει ισοπεριμετρικά προβλήματα συνήθων μορφών.
- να επιλύσει προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών σε μία και παραπάνω ανεξάρτητες μεταβλητές.
- Να διαμορφώνει προβλήματα βελτιστοποίησης και να τα επιλύει χρησιμοποιώντας τον λογισμό Euler-Lagrange.
|
| Γενικές Ικανότητες
|
- Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών
- Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις
- Λήψη Αποφάσεων
|
Περιεχόμενο Μαθήματος
|
Οι εξισώσεις Euler-Lagrange. Το πρόβλημα του βραχυστόχρονου. Ελαχιστικές επιφάνειες εκ περιστροφής . Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα. Η αρχή του Fermat (γεωμετρική οπτική). Η αρχή του Hamilton. Η αρχή της ελαχίστης δράσης. Οι εξισώσεις Euler-Lagrange σε παραπάνω από μια ανεξάρτητες μεταβλητές. Εφαρμογές: Ελαχιστικές επιφάνειες, ταλαντούμενες χορδές και τύμπανα, ανάπτυγμα σε ιδιοσυναρτήσεις, η εξίσωση Schrödinger, το θεώρημα Noether, βελτιστοποίηση Ritz, η αρχή μεγίστου.
|
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
| Τρόπος Διδασκαλίας
|
Στην τάξη.
|
| Τρόπος και Συχνότητα Επικοινωνίας με Φοιτητές
|
Η επικοινωνία με τους φοιτητές γίνεται:
- Μέσω email.
- Δια ζώσης στο γραφείο.
- Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων.
Η συχνότητα επικοινωνίας με τους φοιτητές καθορίζεται από τις ανάγκες των φοιτητών.
|
| Διασφάλιση Τρόπου Επικοινωνίας Μεταξύ Φοιτητών
|
Συνέργεια στα πλαίσια της παράδοσης του μαθήματος.
|
| Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
|
|
| Απαιτούμενος Τεχνολογικός Εξοπλισμός και Γνώσεις Τεχνολογίας
|
Δεν απαιτείται τεχνολογικός εξοπλισμός, καθώς παρέχεται. Δεν απαιτούνται εξειδικευμένες γνώσεις τεχνολογίας.
|
| Πολιτική Μαθήματος για τη Λογοκλοπή και Εργαλεία Ελέγχου Λογοκλοπής
|
Η λογοκλοπή απαγορεύεται ρητά και τιμωρείται κλιμακούμενα, ανάλογα με την επανάληψη της χρήσης της. Ελέγχεται, δε, με σχετικά εργαλεία όπως το "Turnitin", που παρέχει η Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου.
|
| Πολιτική Μαθήματος για τη Χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης
|
Επιτρέπεται η χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης κατόπιν άδειας από τον διδάσκοντα/τη διδάσκουσα.
|
| Οργάνωση Διδασκαλίας
|
| Δραστηριότητα
|
Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
|
| Διαλέξεις (13Χ3)
|
39
|
| Αυτοτελής Μελέτη
|
78
|
| Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες
|
33
|
| Σύνολο Μαθήματος
|
150
|
|
| Αξιολόγηση Φοιτητών
|
- Εβδομαδιαίες ασκήσεις
- Τελική εργασία
- Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου
|
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.
Calculus of Variations
General
| School
|
School of Science
|
| Academic Unit
|
Department of Mathematics
|
| Level of Studies
|
Undergraduate
|
| Course Code
|
MAE849
|
| Semester
|
8
|
| Course Title
|
Calculus of Variations
|
| Independent Teaching Activities
|
Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 6)
|
| Course Type
|
Special Background
|
| Prerequisite Courses
|
Classical Mechanics
|
| Language of Instruction and Examinations
|
Greek
|
| Mode of Course Delivery
|
Face-to-face (100%)
|
| Is the Course Offered to Erasmus Students
|
Yes (in English)
|
| Course Website (URL)
|
See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.
|
Learning Outcomes
| Learning outcomes
|
Calculus of Variations deals with optimisation problems where the variables, instead of being finite dimensional as in ordinary calculus, are functions. This course treats the foundations of calculus of variations and gives examples on some (classical and modern) physical applications. After successfully completing the course, the students should be able to:
- give an account of the foundations of calculus of variations and of its applications in mathematics and physics.
- describe the brachistochrone problem mathematically and solve it .
- solve isoperimetric problems of standard type.
- solve simple initial and boundary value problems by using several variable calculus.
- formulate maximum principles for various equations.
|
| General Competences
|
- Search for, analysis and synthesis of data and information, with the use of the necessary technology.
- Adapting to new situations.
- Decision-making.
|
Syllabus
|
The Euler-Lagrange equation. The brachistochrone problem. Minimal surfaces of revolution . The isoperimetric problem. Fermat's principle (geometric optics). Hamilton's principle. The principle of least action. The Euler-Lagrange equation for several independent variables. Applications: Minimal surfaces, vibrating strings and membranes, eigenfunction expansions, Quantum mechanics: the Schrödinger equation, Noether's theorem, Ritz optimization, the maximum principle.
|
Teaching and Learning Methods - Evaluation
| Mode of Instruction
|
Face to face.
|
| Mode and Frequency of Communication with Students
|
Communication with students takes place through:
- Email.
- In-person meetings during office hours.
- During lectures.
The frequency of communication with students is determined by their needs.
|
| Ensuring Communication Among Students
|
Collaboration and interaction are encouraged within the context of course delivery.
|
| Use of Information and Communications Technology
|
Yes.
|
| Required Technological Equipment and Technology Skills
|
No technological equipment is required from students, as all necessary equipment is provided. No specialized technology skills are required.
|
| Course Policy on Plagiarism and Plagiarism Detection Tools
|
Plagiarism is strictly prohibited and is subject to progressively stricter penalties in the event of repeated offenses. It is monitored using plagiarism detection tools such as Turnitin, which is provided by the University Library.
|
| Course Policy on the Use of Artificial Intelligence
|
The use of Artificial Intelligence is permitted only with the prior approval of the instructor.
|
| Teaching Methods
|
| Activity
|
Semester Workload
|
| Lectures
|
39
|
| Self study
|
78
|
| Exercises
|
33
|
| Course total
|
150
|
|
| Student Performance Evaluation
|
- Weekly homework
- Final project
- Final exam
|
Attached Bibliography
See the official Eudoxus site.