Undergraduate Compulsory 1019
Γενικά
| Σχολή | Σχολή Θετικών Επιστημών |
|---|---|
| Τμήμα | Τμήμα Μαθηματικών |
| Επίπεδο Σπουδών | Προπτυχιακό |
| Κωδικός Μαθήματος | MAY611 |
| Εξάμηνο | 6 |
| Τίτλος Μαθήματος | ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I |
| Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες | Διαλέξεις, παρουσιάσεις και Ασκήσεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 5, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5) |
| Τύπος Μαθήματος | Επιστημονικής Περιοχής |
| Προαπαιτούμενα Μαθήματα | |
| Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων | Ελληνική |
| Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus | Ναι (στην Αγγλική γλώσσα) |
| Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL) | Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. |
Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Μαθησιακά Αποτελέσματα |
Το μάθημα εισάγει τους φοιτητές στο αντικείμενο της Μιγαδικής Ανάλυσης. Συγκεκριμένα, εισάγεται το σώμα των μιγαδικών αριθμών, ως επέκταση του σώματος των πραγματικών αριθμών, και η αναπαράστασή του μέσω του μιγαδικού επιπέδου και μελετώνται οι ιδιότητές του, αλγεβρικές, τοπολογικές και γεωμετρικές. Στη βάση αυτή, εισάγεται η έννοια της μιγαδικής συνάρτησης, όρια τέτοιων συναρτήσεων σε και προς σημείο ή το άπειρο, και η συνέχειά τους και εισάγονται, ως βασικότερες μιγαδικές συναρτήσεις, η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση. Έμφαση δίνεται στην κεντρική έννοια της μιγαδικής διαφορισιμότητας και ολομορφίας, στην ιδιαιτερότητα τέτοιων συναρτήσεων ως διδιάστατων διανυσματικών πεδίων και στη σημασία τους ως γεωμετρικών μετασχηματισμών του επιπέδου. Ακολουθεί η μελέτη δυναμοσειρών, αποδεικνύεται η ολομορφία τους και εισάγεται η έννοια της αναλυτικής συνάρτησης, ως συνάρτησης που αναπτύσσεται τοπικά σε δυναμοσειρά. Παρουσιάζονται τα αναπτύγματα σε δυναμοσειρά των βασικότερων μιγαδικών συναρτήσεων. Ο κορμός του μαθήματος κλείνει με την ολοκληρωτική θεωρία του Cauchy, που εκτός από την ταύτιση των εννοιών της ολόμορφης και της αναλυτικής συνάρτησης, οδηγεί σε πρώτες κλασικές σημαντικές ιδιότητες των ολόμορφων συναρτήσεων και αναδεικνύει τη δομική διαφορά τους σε σχέση με τις λείες πραγματικές συναρτήσεις, αλλά και τα λεία διδιάστατα διανυσματικά πεδία. Το μάθημα κλείνει με τις έννοιες των μεμονωμένων ανωμαλιών, της σειράς Laurent και του ολοκληρωτικού υπολοίπου και δίνονται παραδείγματα εφαρμογών τους για τη μελέτη γενικευμένων ολοκληρωμάτων πραγματικών συναρτήσεων. Το μάθημα αναπτύσσει εμφατικά τη δεξιότητα της συνδυαστικής εφαρμογής αποτελεσμάτων από διάφορες περιοχές των Μαθηματικών και φωτίζει παραδειγματικά τη βαθύτερη διασύνδεσή τους και τη χρησιμότητα μιας τέτοιας ολιστικής θεώρησης. Δείχνει επίσης το πως αναπτύσσονται τα Μαθηματικά και εξασκεί τους φοιτητές στο να ανακαλούν και να εφαρμόζουν γνώσεις που απέκτησαν σε ένα προηγούμενο στάδιο σε ένα νέο για αυτούς αντικείμενο. Τέλος, ως ένα από τα τελευταία χρονικά υποχρεωτικά μαθήματα βοηθάει σε μια επανάληψη πολλών γνώσεων που διδάχθηκαν οι φοιτητές έως τότε και σε μία πιο δεμένη επισκόπησή τους. |
|---|---|
| Γενικές Ικανότητες |
|
Περιεχόμενο Μαθήματος
Το σώμα των μιγαδικών αριθμών. Αλγεβρικές και γεωμετρικές ιδιότητες. Βασικές μιγαδικές συναρτήσεις. Τοπολογία του μιγαδικού επιπέδου, ακολουθίες, όρια, συνέχεια συναρτήσεων. Μιγαδική διαφορισιμότητα και ολομορφία. Εξισώσεις Cauchy-Riemann. Καμπύλες στο μιγαδικό επίπεδο. Σύμμορφες απεικονίσεις. Δυναμοσειρές και αναλυτικές συναρτήσεις. Τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις. Επικαμπύλια ολοκληρώματα, ολοκληρώσιμες συναρτήσεις, ολοκληρωτική θεωρία Cauchy (δείκτης στροφής, Λήμμα Goursat, Ολοκληρωτικό Θεώρημα Cauchy, τύπος του Cauchy, Θεώρημα Αναπαράστασης Cauchy-Taylor) και συνέπειές της (Θεώρημα Liouville, Θεώρημα Morera, Θεώρημα Μοναδικότητας, Θεώρημα Επέκτασης του Riemann). Μεμονωμένες ανωμαλίες, μερόμορφες συναρτήσεις, σειρές Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα.
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
| Τρόπος Παράδοσης | Πρόσωπο με πρόσωπο | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών |
Στην ιστοσελίδα του μαθήματος στο eCourse διατίθεται διδακτικό υλικό (προπτυχιακό εγχειρίδιο). Στην προσωπική ιστοσελίδα του διδάσκοντα για το μάθημα διατίθενται επιπλέον όλα τα παλαιότερα θέματα εξετάσεων. | ||||||||||
| Οργάνωση Διδασκαλίας |
| ||||||||||
| Αξιολόγηση Φοιτητών |
Γραπτή τελική εξέταση. |
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:
General
| School |
School of Science |
|---|---|
| Academic Unit |
Department of Mathematics |
| Level of Studies |
Undergraduate |
| Course Code |
MAΥ611 |
| Semester | 6 |
| Course Title |
Complex Functions I |
| Independent Teaching Activities |
Presentations, exercises, lectures (Weekly Teaching Hours: 5, Credits: 7.5) |
| Course Type |
General Background |
| Prerequisite Courses | - |
| Language of Instruction and Examinations |
Greek |
| Is the Course Offered to Erasmus Students |
Yes |
| Course Website (URL) | See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina. |
Learning Outcomes
| Learning outcomes |
It is the most basic introductory course of Mathematical Analysis of the complex space. The student begins to understand the notion of complex numbers and their properties. He/she learns about the use of the complex numbers field in solving some real numbers problems. The student learns about the elementary complex functions and then he/she learns about the line integral as well as the complex integral of such functions. Especially, the advantage of such integrals and their important properties are emphasized. Finally, the student learns the use of complex integrals in computing improper integrals of real functions. |
|---|---|
| General Competences |
|
Syllabus
The complex plane, Roots, Lines, Topology, Convergence, Riemann sphere, analytic properties of complex functions, Power series, elementary functions (rational, exp, log, trigonometric functions, hyperbolic, functions), line integrals, curves, conformal mappings, homotopic curves, local properties of complex functions, basic theorems, rotation index, General results, singularities, Laurent series, Residuum, Cauchy Theorem, Applications.
Teaching and Learning Methods - Evaluation
| Delivery |
Face-to-face | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Use of Information and Communications Technology |
Use of ICT for the presentation and communication for submission of the exercises | ||||||||||
| Teaching Methods |
| ||||||||||
| Student Performance Evaluation |
Greek. Written exam (100%) on the theory and solving problems. |
Attached Bibliography
See the official Eudoxus site. Books and other resources, not provided by Eudoxus:
- Γιαννούλης, Ι. (2024). Μιγαδική Ανάλυση [Προπτυχιακό εγχειρίδιο]. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. http://dx.doi.org/10.57713/kallipos-408
- R. Remmert. Theory of Complex Functions. Springer, 1998.
- S. Lang. Complex Analysis. Fourth Edition. Springer, 1999.