Γενικά
| Σχολή
|
Σχολή Θετικών Επιστημών
|
| Τμήμα
|
Τμήμα Μαθηματικών
|
| Επίπεδο Σπουδών
|
Προπτυχιακό
|
| Κωδικός Μαθήματος
|
MAE818
|
| Εξάμηνο
|
8
|
| Τίτλος Μαθήματος
|
Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση
|
| Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες
|
Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
|
| Τύπος Μαθήματος
|
Ειδίκευσης
|
| Προαπαιτούμενα Μαθήματα
|
|
| Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
|
Ελληνική
|
| Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus
|
Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
|
| Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
|
Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
|
Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Μαθησιακά Αποτελέσματα
|
Η Στοχαστική Ανάλυση είναι κλάδος των μαθηματικών που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη στοχαστικών διαδικασιών με μη-διαφορίσιμα μονοπάτια. Ένα από τα βασικά της εργαλεία της είναι το στοχαστικό ολοκλήρωμα του Ito. Μέσω αυτού ορίζονται οι στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες χρησιμοποιούνται στη μοντελοποίηση και τη μελέτη τυχαίων φαινομένων συνεχούς χρόνου. Η Στοχαστική Ανάλυση βρίσκει εφαρμογές σε περιοχές όπως η Φυσική και τα Χρηματοοικονομικά. Στόχος είναι οι φοιτητές να έχουν αποκτήσει μετά την παρακολούθηση του μαθήματος μία πρώτη εξοικείωση με τη Στοχαστική Ανάλυση και συγκεκριμένα με:
- Βασικές έννοιες των στοχαστικών διαδικασιών σε διακριτό και συνεχή χρόνο.
- Την κίνηση Brown και βασικές της ιδιότητες.
- Τον ορισμό του στοχαστικού ολοκληρώματος ως προς την κίνηση Brown και τον τύπο του Ito.
- Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις και εφαρμογές.
|
| Γενικές Ικανότητες
|
- Αυτόνομη εργασία
- Ομαδική εργασία
- Προαγωγή δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης
- Προαγωγή αναλυτικής και συνθετικής σκέψης
|
Περιεχόμενο Μαθήματος
|
Βασικές έννοιες στοχαστικών διαδικασιών σε διακριτό και συνεχή χρόνο: Ορισμοί, σχέσεις ισότητας και κατανομές στοχαστικών διαδικασιών, διαδικασίες με συνεχή μονοπάτια. (σ)-άλγεβρες, διηθήσεις, χρόνοι διακοπής, δεσμευμένη μέση τιμή. Βασικές κλάσεις στοχαστικών διαδικασιών: Ισόρροπες διαδικασίες (martingales), διαδικασίες Levy, μαρκοβιανές διαδικασίες, συναρτήσεις πιθανοτήτων μετάβασης και γεννήτορες. Κίνηση Brown: Ορισμός, ύπαρξη και μοναδικότητα, βασικές ιδιότητες (π.χ. αναλυτικές ιδιότητες μονοπατιών, αρχή της ανάκλασης, ισχυρή μαρκοβιανή ιδιότητα, σχέση με την εξίσωση της θερμότητας), ισόρροπες διαδικασίες σχετιζόμενες με την κίνηση Brown και χρόνοι εξόδου. Στοχαστικός Λογισμός: Σταδιακή κατασκευή και επέκταση του Ολοκληρώματος του Ito ως προς την κίνηση Brown, το ολοκλήρωμα ως στοχαστική διαδικασία, ο τύπος του Ito, στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ), ύπαρξη και μοναδικότητα, επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ. Εφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους: Αρμονικές συναρτήσεις και το πρόβλημα εξόδου για την κίνηση Brown, πιθανοθεωρητική αναπαράσταση λύσεων, τύπος Feynman-Kac. Ο τελεστής Laplace ως γεννήτορας της κίνησης Brown. Διαδικασίες Ito και ο γεννήτορας τους. Εφαρμογές στα χρηματοοικονομικά: Χαρτοφυλάκια και εξισορροπητική κερδοσκοπία (arbitrage), ευρωπαϊκά παράγωγα, εξίσωση Black-Scholes
|
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
| Τρόπος Παράδοσης
|
Διαλέξεις
|
| Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
|
-
|
| Οργάνωση Διδασκαλίας
|
| Δραστηριότητα
|
Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
|
| Διαλέξεις (13Χ3)
|
39
|
| Αυτοτελής Μελέτη
|
78
|
| Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες
|
33
|
| Σύνολο Μαθήματος
|
150
|
|
| Αξιολόγηση Φοιτητών
|
Η αξιολόγηση των φοιτητών θα γίνει με εβδομαδιαίες ασκήσεις, πρόοδο και τελική εξέταση.
|
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:
General
| School
|
School of Science
|
| Academic Unit
|
Department of Mathematics
|
| Level of Studies
|
Undergraduate
|
| Course Code
|
ΜΑΕ818
|
| Semester
|
5
|
| Course Title
|
Introduction to Stochastic Analysis
|
| Independent Teaching Activities
|
Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 6)
|
| Course Type
|
Special background
|
| Prerequisite Courses
|
-
|
| Language of Instruction and Examinations
|
Greek
|
| Is the Course Offered to Erasmus Students
|
Yes (in English)
|
| Course Website (URL)
|
See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.
|
Learning Outcomes
| Learning outcomes
|
Stochastic Analysis is the branch of mathematics whose objective is the study of Stochastic processes with non-differentiable paths. One of the basic tools is the stochastic integral of Ito via which stochastic differential equations are defined. Stochastic differential equations are used to model and study random phenomena evolving in continuous time. Stochastic analysis has applications in areas as physics and finance. The aim of the course is to introduce the students to the basic notions, tools and applications of Stochastic Analysis. After the course the students will know:
- Basic notions about stochastic processes in discrete and continuous time.
- Brownian motion and its basic properties.
- The definition of the stochastic integral with respect to Brownian motion and Ito's formula.
- Stochastic differential equations and applications.
|
| General Competences
|
* Working independently.
- Working in groups.
- Creative, analytical and inductive thinking.
|
Syllabus
|
Basic notions of stochastic processes in discrete and continuous time: Definition, notions of equality, distributions of stochastic processes, processes with continuous paths. Filtrations, stopping times, conditional expectation. Fundamental classes of stochastic processes: Martingales, Levy processes, Markov processes, transition probabilities and generators. Brownian motion: Definition, existence and uniqueness, basic properties (e.g.~analytic properties of paths, reflection principle, strong Markov property, relation with the heat equation), martingales related to Brown motion and stopping times. Stochastic calculus: Construction of the Ito integral with respect to Brownian motion, the integral as a stochastic process, Ito's formula. Stochastic differential equations (SDE), existence and uniqueness, solutions of some special SDE. Applications to PDE: Harmonic functions and the exit problem for Brownian motion, probabilistic interpretation of solutions, Feynman-Kac formula. The Laplace operator as the generator of Brownian motion. Ito processes and their generator. Applications in financial mathematics: Portfolios and arbitrage, European options, Black-Scholes formula.
|
Teaching and Learning Methods - Evaluation
| Delivery
|
Face-to-face
|
| Use of Information and Communications Technology
|
-
|
Teaching Methods
|
class="wikitable"
|
Activity
|
Semester Workload
|
| Lectures (13x3)
|
39
|
| Individual study
|
78
|
| Exercises/projects
|
33
|
| Course total
|
150
|
|-
! Student Performance Evaluation
|
Greek or English
Weekly exercises, midterm exam, final written exam.
|}
Attached Bibliography
See the official Eudoxus site. Books and other resources, not provided by Eudoxus:
- Lawrence C. Evans, An Introduction to Stochastic Differential Equations, American Mathematical Society, 2013.
- Bernt Oksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications of Univesitext, Springer-Verlag, Berlin, 6th edition, 2003.
- S.N. Cohen and R.J. Elliott, Stochastic Calculus and Applications, Second Edition of Probability and Its Applications, Birkhauser, 2015.
- I. Karatzas and S.E. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd edition volume 113 of Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1991.
- D. Revuz and M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd Edition volume 293 of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [A Series of Comprehensive Studies in Mathematics], Springer, 2005.