Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων
Γενικά
| Σχολή
|
Σχολή Θετικών Επιστημών
|
| Τμήμα
|
Τμήμα Μαθηματικών
|
| Επίπεδο Σπουδών
|
Μεταπτυχιακό
|
| Κωδικός Μαθήματος
|
ΑΑ5
|
| Εξάμηνο
|
1
|
| Τίτλος Μαθήματος
|
Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων
|
| Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες
|
Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
|
| Τύπος Μαθήματος
|
Ειδικού υποβάθρου
|
| Προαπαιτούμενα Μαθήματα
|
-
|
| Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
|
Ελληνική
|
| Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus
|
Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
|
| Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
|
Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
|
Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Μαθησιακά Αποτελέσματα
|
Στο μάθημα δίνεται μια στοιχειώδης εισαγωγή στη θεωρία προβλημάτων αρχικών τιμών για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις και μελετώνται αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης τέτοιων προβλημάτων καθώς και αριθμητικές μέθοδοι για το πρόβλημα δύο σημείων. Βασική επιδίωξη είναι η κατανόηση των θεμελιωδών ποιοτικών χαρακτηριστικών αριθμητικών μεθόδων για προβλήματα αρχικών τιμών, όπως η συνέπεια και η τάξη ακρίβειας, διάφορες ιδιότητες ευστάθειας κ.λπ. Αποσκοπεί επίσης στην εξοικείωση με τις κύριες κατηγορίες αριθμητικών μεθόδων για προβλήματα αρχικών τιμών καθώς και για προβλήματα συνοριακών τιμών. Έπειτα από επιτυχή συμμετοχή στο μάθημα οι φοιτητές αναμένεται να:
- Κατανοούν τα βασικά ζητήματα για προβλήματα αρχικών τιμών καθώς και για το πρόβλημα δύο σημείων και μπορούν να επιλύσουν κάποιες απλές διαφορικές εξισώσεις.
- Αντιλαμβάνονται τον ρόλο της συνέπειας, της τάξης ακρίβειας και διαφόρων ιδιοτήτων ευστάθειας αριθμητικών μεθόδων για προβλήματα αρχικών τιμών.
- Γνωρίζουν τις βασικές αριθμητικές μεθόδους για προβλήματα αρχικών τιμών, καθώς και τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά τους.
- Γνωρίζουν τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών καθώς και τα βασικά για τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων.
|
| Γενικές Ικανότητες
|
- Προαγωγή ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης
- Αξιοποίηση, εμπέδωση, εμβάθυνση και εφαρμογή μαθηματικών γνώσεων.
- Εξοικείωση με βασικές αριθμητικές μεθόδους για διαφορικές εξισώσεις.
|
Περιεχόμενο Μαθήματος
- Στοιχειώδης εισαγωγή στη θεωρία του προβλήματος αρχικών τιμών.
- Λεπτομερής μελέτη των μεθόδων του Euler: τάξη ακρίβειας, ιδιότητες ευστάθειας, A-ευστάθεια και B-ευστάθεια, εκτίμηση του σφάλματος υπό διάφορες συνθήκες Lipschitz, όπως η ολική, η τοπική και η μονόπλευρη, εκ των προτέρων και εκ των υστέρων εκτιμήσεις των σφαλμάτων.
- Μέθοδοι των Runge-Kutta και μέθοδοι συνεγγισμού: ιδιότητες ευστάθειας, τάξη ακρίβειας, μέθοδοι με μεταβλητό βήμα, ζεύγη μεθόδων για αυτόματη επιλογή βήματος.
- Πολυβηματικές μέθοδοι: στοιχεία από τη θεωρία των εξισώσεων διαφορών, συνθήκη των ριζών και ευστάθεια, τάξη ακρίβειας, μονοσκελής εκδοχή πολυβηματικών μεθόδων και G-ευστάθεια.
- Εισαγωγή στη θεωρία του προβλήματος δύο σημείων: μέθοδος της ενέργειας, ελλειπτική ομαλότητα.
- Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών για το πρόβλημα δύο σημείων.
- Μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων: κατασκευή χώρων πεπερασμένων στοιχείων για διάφορες συνοριακές συνθήκες, μέθοδοι Galerkin και Ritz, το τέχνασμα του Nitsche. Ανάλυση σφάλματος στην περίπτωση μη (θετικά) ορισμένου τελεστή.
|
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
| Τρόπος Παράδοσης
|
Στην τάξη
|
| Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
|
-
|
| Οργάνωση Διδασκαλίας
|
| Δραστηριότητα
|
Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
|
| Διαλέξεις
|
39
|
| Αυτοτελής Μελέτη
|
78
|
| Επίλυση Ασκήσεων - Εργασίες
|
70.5
|
| Σύνολο Μαθήματος
|
187.5
|
|
| Αξιολόγηση Φοιτητών
|
Ενδιάμεσες γραπτές εξετάσεις καθώς και τελική γραπτή εξέταση με ερωτήματα ανάπτυξης επιχειρημάτων για επίλυση προβλημάτων και ασκήσεων.
|
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.
Numerical Solution of Ordinary Differential Equations
General
| School
|
School of Science
|
| Academic Unit
|
Department of Mathematics
|
| Level of Studies
|
Graduate
|
| Course Code
|
AA5
|
| Semester
|
1
|
| Course Title
|
Numerical Solution of Ordinary Differential Equations
|
| Independent Teaching Activities
|
Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5)
|
| Course Type
|
Special Background
|
| Prerequisite Courses
|
-
|
| Language of Instruction and Examinations
|
Greek
|
| Is the Course Offered to Erasmus Students
|
Yes (in English)
|
| Course Website (URL)
|
See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.
|
Learning Outcomes
| Learning outcomes
|
Numerical methods for initial value problems for ordinary differential equations are studied in this course; an introduction to numerical methods for the two-point boundary value problem is also given. Learning Objectives: Understanding the basic facts for initial value problems and the two-point boundary value problem. Understanding the fundamental qualitative characteristics of numerical methods for initial value problems, like consistency, order of accuracy, stability and convergence. It is expected that after taking the course the student will have:
- Understand the basic facts for initial value problems as well as for the two-point boundary value problem.
- Know the basic numerical methods for initial value problems and are familiar with their advantages and drawbacks.
- Understand the role of consistency, order of accuracy and stability of numerical methods for initial value problems.
- Know the basic numerical methods for initial value problems.
- Know the basic properties of finite difference and finite element methods for the two-point boundary value problem.
|
| General Competences
|
- Production of free, creative and inductive thinking.
- Consolidation, deepening and application of mathematical knowledge.
- Familiarity with numerical methods for initial as well as for boundary value problems.
|
Syllabus
- Short introduction to the theory of initial value problems.
- Analysis of the Euler methods: order of accuracy; stability properties, A-stability and B-stability; error estimates under various Lipschitz conditions (global, local and one-sided); a posteriori error estimates.
- Runge-Kutta and collocation methods: stability properties, order of accuracy, embedded pairs of methods and adaptive time step selection.
- Multistep methods: elements of the theory of difference equations, the root condition and stability, order of accuracy, one-leg methods, and G-stability.
- Introduction to the theory of the two-point boundary value problem: energy method and elliptic regularity.
- Finite difference methods for the two-point boundary value problem.
- Finite element method: construction of finite element spaces for various boundary conditions, Galerkin and Ritz methods, the Nitsche trick. Error estimates in the case of indefinite operators.
|
Teaching and Learning Methods - Evaluation
| Delivery
|
In the class
|
| Use of Information and Communications Technology
|
-
|
| Teaching Methods
|
| Activity
|
Semester Workload
|
| Lectures
|
39
|
| Working Independently
|
78
|
| Exercise - Homework
|
70.5
|
| Course total
|
187.5
|
|
| Student Performance Evaluation
|
Mid-term and final written examinations
|
Attached Bibliography
See the official Eudoxus site.