Postgraduate Section 2 1005
Γενικά
| Σχολή | Σχολή Θετικών Επιστημών |
|---|---|
| Τμήμα | Τμήμα Μαθηματικών |
| Επίπεδο Σπουδών | Προπτυχιακό |
| Κωδικός Μαθήματος | ΓΕ5 |
| Εξάμηνο | 2 |
| Τίτλος Μαθήματος | Αλγεβρική Τοπολογία Ι |
| Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες | Διάφορες μορφές διδασκαλίας (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5) |
| Τύπος Μαθήματος | Ειδικού Υπόβαθρου, Ανάπτυξης ιδιαίτερων δεξιοτήτων στην τοπολογία - γεωμετρία - άλγεβρα |
| Προαπαιτούμενα Μαθήματα | ΜΑΥ413 Τοπολογία, ΜΑΥ422 Αλγεβρικές Δομές I |
| Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων | Ελληνική |
| Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus | Ναι (στην Αγγλική γλώσσα) |
| Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL) | Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. |
Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Μαθησιακά Αποτελέσματα | Η αλγεβρική τοπολογία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών ο οποίος αναπτύχθηκε τον εικοστό αιώνα με καταβολές σχετιζόμενες με αρχαία προβλήματα των μαθηματικών. Το κύριο χαρακτηριστικό του κλάδου είναι οι ποικίλες εφαρμογές και επηρεασμοί άλλων κλάδων στα μαθηματικά και άλλες επιστήμες. Όπως άλγεβρα, ανάλυση, διαφορική και αλγεβρική γεωμετρία, θεωρία αριθμών. Αλλά και φυσική, βιολογία, οικονομικές επιστήμες και επιστήμη υπολογιστών. Απαιτείται ευχέρεια και χρήση βασικών εννοιών από τη Γενική Τοπολογία. Μελετάται η συμπαγής Ανοικτή Τοπολογία σαν εργαλείο μελέτης χώρων απεικονίσεων. Γίνεται μελέτη ομοτοπίας και χρήση εργαλείων για υπολογισμούς. Μελετάται πότε μια κατηγορία χώρων είναι "καλή" από την τοπολογική σκοπιά; Μελέτη ομοτοπίας και χρήση εργαλείων για υπολογισμούς. Επίσης μελέτη του ερωτήματος "Πως θα μπορούσαμε να ξεχωρίσουμε τοπολογικούς χώρους μεταξύ τους"; Υπολογισμός των πρωταρχικών ομάδων για βασικούς τοπολογικούς χώρους μέσω των καλυπτικών απεικονίσεων και ταξινόμηση αυτών. |
|---|---|
| Γενικές Ικανότητες |
|
Περιεχόμενο Μαθήματος
|
Συμπαγής Ανοικτή Τοπολογία. Ομοτοπία, πρωταρχική ομάδα. Ομοτοπία του κύκλου. Cell complexes. Πραγματικός προβολικός χώρος. Μιγαδικός προβολικός χώρος. Καλυπτικοί χώροι. Παραμορφώσεις. Ταξινόμηση καλυπτικών χώρων. Εφαρμογές. Θεώρημα Scheifert-Van Kampen. Πρωταρχικές ομάδες επιφανειών. Singular ομολογία. Ομοτοπικές απεικονίσεις και ομολογία. Εργαλεία, μακριές ακριβείς ακολουθίες. Ομολογία σφαίρας. Σχετική ομολογία, Εκτομή. Βαθμός απεικονίσεων στη σφαίρα, Θεωρήματα σταθερού σημείου. |
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
| Τρόπος Παράδοσης | Πρόσωπο με πρόσωπο | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών | |||||||||||||||
| Οργάνωση Διδασκαλίας |
| ||||||||||||||
| Αξιολόγηση Φοιτητών | Γραπτή εξέταση, Προφορική παρουσίαση, εβδομαδιαίες ασκήσεις. |
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.
General
| School | School of Science |
|---|---|
| Academic Unit | Department of Mathematics |
| Level of Studies | Graduate |
| Course Code | ΓΕ5 |
| Semester | 2 |
| Course Title | Algebraic Topology I |
| Independent Teaching Activities | Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5) |
| Course Type | Special background. Specialized general knowledge. Skills development. |
| Prerequisite Courses | General Topology, Algebraic Structures I |
| Language of Instruction and Examinations | Greek |
| Is the Course Offered to Erasmus Students | Yes (in English) |
| Course Website (URL) | See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina. |
Learning Outcomes
| Learning outcomes |
Algebraic topology is a twentieth century field of mathematics that can trace its origins and connections back to the ancient beginnings of mathematics. One of the strengths of algebraic topology has always been its wide degree of applicability to other fields. Nowadays that includes fields like physics, differential geometry, algebraic geometry, and number theory, biology, financial sciences, computer sciences. We expect familiarity with basic notions from point set topology. We study the compact open topology and function spaces as an introduction to homotopy between maps. The main Learning Outcomes can be described as the application of Cell complexes and the category of CW spaces in connection between homotopy-homology and important problems in geometry. Moreover, how do we compute using homotopy? How can we distinguish between topological spaces? We compute the fundamental groups of basic topological spaces and classify covering spaces. Singular homology is introduced along with the main technics of computations. |
|---|---|
| General Competences |
Search for analysis and synthesis of data and information related with topological and geometrical problems. Working independently and in a Team work. Working in an interdisciplinary environment aiming at production of new research ideas related to the syllabus of the course. |
Syllabus
|
Compact open topology. Homotopy, fundamental group. Homotopy of the circle. Cell complexes. Real and Complex projective spaces. Covering spaces. Deformations. Classification of covering spaces. Applications. Scheifert-Van Kampen Theorem. Fundamental groups of surfaces. Singular homology. Homotopic maps and homology. The long exact sequence of a pair. Homology of the sphere. Relative homology, excision. The degree of maps of spheres. Fixed point Theorems. |
Teaching and Learning Methods - Evaluation
| Delivery |
Face-to-face | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Use of Information and Communications Technology | - | ||||||||||||||
| Teaching Methods |
| ||||||||||||||
| Student Performance Evaluation |
Written Examination, Oral Presentation, tests, written assignments. |
Attached Bibliography
See the official Eudoxus site. Books and other resources, not provided by Eudoxus:
- ---