Γενικά
| Σχολή
|
Σχολή Θετικών Επιστημών
|
| Τμήμα
|
Τμήμα Μαθηματικών
|
| Επίπεδο Σπουδών
|
Προπτυχιακό
|
| Κωδικός Μαθήματος
|
ΓΕ6
|
| Εξάμηνο
|
1
|
| Τίτλος Μαθήματος
|
Αλγεβρική Τοπολογία IΙ
|
| Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες
|
Διάφορες μορφές διδασκαλίας (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
|
| Τύπος Μαθήματος
|
Ειδικού Υπόβαθρου, Ανάπτυξης ιδιαίτερων Δεξιοτήτων στην τοπολογία - γεωμετρία - άλγεβρα
|
| Προαπαιτούμενα Μαθήματα
|
ΓΕ5 Αλγεβρική Τοπολογία I
|
| Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
|
Ελληνική
|
| Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus
|
Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
|
| Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
|
Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
|
Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Μαθησιακά Αποτελέσματα
|
Η εμφάνιση της Αλγεβρικής Τοπολογίας ξεκινά με την έρευνα του H. Poincare. Την πρώτη περίοδο οι εφαρμογές του κλάδου περιορίζονταν στην αλγεβρική γεωμετρία αλλά αυτό άλλαξε δραματικά το 1930 με τη γέννηση της διαφορικής τοπολογίας από τους G. De Rham και E. Cartan και τη θεωρία ομοτοπίας από τους W. Hurewicz και H. Hopf. Η επιρροή της αρχίζει να διαχέεται σε όλο και περισσότερους κλάδους ώστε να πάρει μια κεντρική θέση στα μαθηματικά. Το μάθημα αυτό αποτελεί συνέχεια του μαθήματος ΓΕ5 Αλγεβρική Τοπολογία Ι και αποσκοπεί στη μελέτη και απόκτηση δεξιοτήτων για την επίλυση προχωρημένων προβλημάτων από την τοπολογία - γεωμετρία. Η βασική ιδέα είναι η επικόλληση αλγεβρικών δομών στους τοπολογικούς χώρους και απεικονίσεων μεταξύ τους ώστε η άλγεβρα να παραμένει αναλλοίωτη κάτω από βασικούς τοπολογικούς μετασχηματισμούς. Σκοπός είναι η αναγωγή δύσκολων γεωμετρικών προβλημάτων σε ομοτοπικά. Μελέτη ομοτοπίας και παρουσίαση εργαλείων για υπολογισμούς. Και μελέτη του ερωτήματος «Πως θα μπορούσαμε να ξεχωρίσουμε τοπολογικούς χώρους μεταξύ τους;» Συγκεκριμένα: Υπολογισμοί ομολογιακών προτύπων και συνομολογιακών δακτυλίων διάφορων σημαντικών τοπολογικών χώρων. Σχέση ομολογίας συνομολογίας και ομοτοπίας. Υπολογισμοί βασικών ομοτοπικών και ομολογιακών ακολουθιών.
|
| Γενικές Ικανότητες
|
- Η μετάβαση και ευχέρεια κατανόησης δύσκολων μαθηματικών αποδείξεων.
- Αυτόνομη εργασία ώστε να έχουν την ευκαιρία να βελτιώσουν την ικανότητά τους για συγγραφή ατομικών μαθηματικών κειμένων.
- Παροχή ανώτερων τοπολογικών γνώσεων ώστε να μπορούν να κατανοήσουν - αναλύσουν προχωρημένα τοπολογικά-γεωμετρικά προβλήματα.
|
Περιεχόμενο Μαθήματος
|
Πολύεδρα, simplicial και singular θεωρία ομολογίας, Θεώρημα σταθερού σημείου Lefschetz, συνομολογία και γινόμενα, θεωρήματα Künneth και universal coefficient, θεωρήματα δυικότητας Poincare και Alexander. Ινώσεις συνινώσεις και ομοτοπικές ισοδυναμίες και ακολουθίες αυτών, επίσης το θεώρημα της κελυφωτής προσέγγισης. Το θεώρημα της αναλλοίωτης του Hopf, CW και κελυφωτή ομολογία, εκτομή και υποδιαιρέσεις, το γενικευμένο θεώρημα του Jordan και Borsuk-Ulam. Χώροι ταξινόμησης και χώροι Eilenberg-MacLane, ακολουθία Meyer-Vietoris, διανυσματικές δέσμες και χαρακτηριστικές κλάσεις.
|
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
| Τρόπος Παράδοσης
|
Πρόσωπο με πρόσωπο
|
| Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
|
|
| Οργάνωση Διδασκαλίας
|
| Δραστηριότητα
|
Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
|
| Διαλέξεις
|
39
|
| Φροντιστήριο
|
28
|
| Συγγραφή εργασίας
|
30
|
| Ασκήσεις
|
40,5
|
| Εξετάσεις
|
50
|
| Σύνολο Μαθήματος
|
187.5
|
|
| Αξιολόγηση Φοιτητών
|
Γραπτή εξέταση, Προφορική παρουσίαση, εβδομαδιαίες ασκήσεις.
|
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.
Algebraic Topology II
General
| School
|
School of Science
|
| Academic Unit
|
Department of Mathematics
|
| Level of Studies
|
Graduate
|
| Course Code
|
ΓΕ6
|
| Semester
|
1
|
| Course Title
|
Algebraic Topology II
|
| Independent Teaching Activities
|
Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5)
|
| Course Type
|
Special background. Specialized general knowledge. Skills development in connections with topology geometry and algebra.
|
| Prerequisite Courses
|
ΓΕ5 - Algebraic Topology I
|
| Language of Instruction and Examinations
|
Greek
|
| Is the Course Offered to Erasmus Students
|
Yes (in English)
|
| Course Website (URL)
|
See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.
|
Learning Outcomes
| Learning outcomes
|
Algebraic Topology begins its creation by H. Poincare in 1900. In its first thirty years the field seemed limited in application in algebraic geometry, but this changed dramatically in 1930 with the creation of differential topology by G. De Rham and E. Cartan and of homotopy theory by W. Hurewicz and H. Hopf. Its influence began to spread to more and more branches as it gradually took on a central role in mathematics. This course is a continuation of the course Algebraic Topology I and aims in studying and managing advanced skills in order to calculate and solve difficult problems in topology-geometry. The key idea is to attach algebraic structures to topological spaces and their maps in such a away the algebra is both invariant under a variety of deformation of spaces and maps, and computable. Our aim is to transform difficult geometric problems to homotopic ones. We also study and develop homotopical tools. We calculate homological modules as well as cohomological rings for important spaces. Homotopical and cohomological sequences are concerned.
|
| General Competences
|
Search for analysis and synthesis of data and information related with topological and geometrical problems. Working independently and in a Team work. Working in an interdisciplinary environment aiming at production of new research ideas related to the syllabus of the course.
|
Syllabus
|
Polyhedral, simplicial and singular homology theory, Lefschetz fixed-point theorem, cohomology and products, Künneth and universal coefficient theorems, Poincare and Alexander duality theorems. Cofibrations, cofiber homotopy equivalence, fibrations, fiber homotopy equivalence, cofiber-fiber sequences, the cellular approximation theorem. Hopf invariant problem, CW and cellular homology, subdivision and excision, the generalized Jordan curve theorem, Borsuk-Ulam. Classifying spaces Eilenberg-MacLane spaces, Meyer-Vietoris sequences, vector bundles characteristic classes.
|
Teaching and Learning Methods - Evaluation
| Delivery
|
Face-to-face
|
| Use of Information and Communications Technology
|
-
|
| Teaching Methods
|
| Activity
|
Semester Workload
|
| Lectures
|
39
|
| Working hours in class
|
28
|
| Project
|
30
|
| Assignments
|
40.5
|
| Final
|
50
|
| Course total
|
187.5
|
|
| Student Performance Evaluation
|
Written Examination, Oral Presentation, tests, written assignments.
|
Attached Bibliography
See the official Eudoxus site.