Postgraduate Section 1 1005
Διαφορικές Εξισώσεις
Γενικά
| Σχολή | Σχολή Θετικών Επιστημών |
|---|---|
| Τμήμα | Τμήμα Μαθηματικών |
| Επίπεδο Σπουδών | Μεταπτυχιακό |
| Κωδικός Μαθήματος | ΑΝ5 |
| Εξάμηνο | 2 |
| Τίτλος Μαθήματος | Διαφορικές Εξισώσεις |
| Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες | Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5) |
| Τύπος Μαθήματος | Ειδίκευσης |
| Προαπαιτούμενα Μαθήματα | Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις, Απειροστικοί Λογισμοί Ι και ΙΙ, Πραγματική Ανάλυση, Τοπολογία |
| Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων | Ελληνική |
| Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus | Ναι (στην Αγγλική γλώσσα) |
| Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL) | Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. |
Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Μαθησιακά Αποτελέσματα | Το μάθημα έχει ως στόχο να εισάγει τους φοιτητές σε ένα ευρύ φάσμα θεμάτων διαφορικών εξισώσεων μεταπτυχιακού επιπέδου. Η επιλογή της ύλης γίνεται από κλασσικά θέματα διαφορικών εξισώσεων καθώς και από θέματα που βρίσκονται στο ενδιαφέρον της σύγχρονης έρευνας. Επιδιώκεται ο φοιτητής να αποκτήσει:
|
|---|---|
| Γενικές Ικανότητες |
|
Περιεχόμενο Μαθήματος
|
Δεύτερης τάξης γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: Θεωρήματα τύπου Sturm. Θεωρήματα ταλάντωσης και μη ταλάντωσης. Αναγωγή προβλημάτων διαφορικών εξισώσεων σε ολοκληρωτικές εξισώσεις. Volterra ολοκληρωτικές εξισώσεις: Ύπαρξη και μονοσήμαντο λύσεων. Ύπαρξη λύσεων. Η γραμμική εξίσωση. Η πρώτου είδους γραμμική εξίσωση. Μερικά προβλήματα επί του ημιάξονα. Fredholm θεωρία γραμμικών ολοκληρωτικών εξισώσεων: Ο επιλύων πυρήνας. Οι ακέραιες συναρτήσεις του Fredholm και εφαρμογές αυτών. Ιδιοτιμές, ιδιοσυναρτήσεις και συζυγείς εξισώσεις. Μερικές ολοκληρωτικές ανισότητες: Λήμματα των Gronwall και Bihari και μερικές εφαρμογές αυτών. Υστερημένες διαφορικές εξισώσεις: Εισαγωγή. Παραδείγματα και η μέθοδος των βημάτων. Μερικά αξιοσημείωτα παραδείγματα και μερικά «εσφαλμένα» ερωτήματα. Συνθήκη του Lipschitz και μονοσήμαντο για το βασικό αρχικό πρόβλημα. Συμβολισμοί και μονοσήμαντο για συστήματα με φραγμένη υστέρηση. Ύπαρξη για συστήματα με φραγμένη υστέρηση. Γραμμικά υστερημένα διαφορικά συστήματα: Υπέρθεση. Η περίπτωση των σταθερών συντελεστών. Μεταβολή των παραμέτρων. Ευστάθεια για υστερημένα διαφορικά συστήματα: Ορισμοί και παραδείγματα. Ασυμπτωτική ευστάθεια. Γραμμικά και σχεδόν γραμμικά υστερημένα διαφορικά συστήματα. Κλασματικές διαφορικές εξισώσεις: Ορισμοί και ο βασικός λογισμός. Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών. Δυναμικές διαφορικές εξισώσεις: ορισμοί και λογισμός. Εξισώσεις και προβλήματα. Διάφορα θέματα. |
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
| Τρόπος Παράδοσης | Διαλέξεις-παρουσιάσεις στην αίθουσα | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών | |||||||||||
| Οργάνωση Διδασκαλίας |
| ||||||||||
| Αξιολόγηση Φοιτητών | Οι φοιτητές επιλέγουν να αξιολογηθούν με έναν ή και με τους δύο από τους εξής τρόπους:
Σε περίπτωση που κάποιος φοιτητής αξιολογηθεί και με τους δύο τρόπους, ως τελικός βαθμός υπολογίζεται το μέγιστο των δύο βαθμολογιών. Τα κριτήρια αξιολόγησης θα είναι προσβάσιμα στην ιστοσελίδα του Μαθήματος στην πλατφόρμα “E-Course” του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. |
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.
Differential Equations
General
| School | School of Science |
|---|---|
| Academic Unit | Department of Mathematics |
| Level of Studies | Graduate |
| Course Code | AN5 |
| Semester | 2 |
| Course Title | Differential Equations |
| Independent Teaching Activities | Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5) |
| Course Type | Special Background |
| Prerequisite Courses | - |
| Language of Instruction and Examinations | Greek |
| Is the Course Offered to Erasmus Students | Yes |
| Course Website (URL) | See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina. |
Learning Outcomes
| Learning outcomes |
This course is aiming at familiarizing the students with a variety of advanced subjects related to differential equations. Both classical and modern subjects are studied. After attending this course, the students should be able to:
|
|---|---|
| General Competences |
|
Syllabus
|
Second order linear ordinary differential equations: Sturm-type theorems, oscillation and non-oscillation theorems. Reducing differential equation problems to integral ones. Volterra integral equations: existence and uniqueness of solutions. Existence of solutions. The linear equation. The first order linear equation. Some problems on the semi-axis. Fredholm theory for linear integral equations: the resolvent kernel. The entire functions of Fredholm and their applications. Eigenvalues, eigenfunctions and conjugate functions. Some integral inequalities: Gronwall and Bihari Lemmas, and their applications. Delay differential equations: Introduction, Examples and the stepping method. Some remarkable examples and some "wrong" questions. Lipschitz condition and uniqueness for the basic initial problem. Notations and uniqueness for systems with bounded delay. Existence for systems with bounded delay. Linear delay differential systems: superposition. Fixed coefficients. Variation of parameters. Stability for delayed differential systems: Definitions and examples. Asymptotic stability. Linear and almost linear differential systems. Fractional differential equations: Definitions and basic calculus. Initial and boundary systems. Dynamical systems: definitions and calculus. Equations and problems. Various subjects. |
Teaching and Learning Methods - Evaluation
| Delivery | Lectures on class | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Use of Information and Communications Technology | - | ||||||||||
| Teaching Methods |
| ||||||||||
| Student Performance Evaluation |
The students can choose one of the following options:
If both methods are used, then the final grade is the maximum of the two. The criteria regarding the grading are publised in the "E-Course" platform. |
Attached Bibliography
See the official Eudoxus site.