Γενικά
| Σχολή
|
Σχολή Θετικών Επιστημών
|
| Τμήμα
|
Τμήμα Μαθηματικών
|
| Επίπεδο Σπουδών
|
Μεταπτυχιακό
|
| Κωδικός Μαθήματος
|
ΓΕ3
|
| Εξάμηνο
|
2
|
| Τίτλος Μαθήματος
|
Γεωμετρία Riemann
|
| Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες
|
Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
|
| Τύπος Μαθήματος
|
Ειδικού Υπόβαθρου
|
| Προαπαιτούμενα Μαθήματα
|
-
|
| Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
|
Ελληνική
|
| Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus
|
Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
|
| Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
|
Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
|
Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Μαθησιακά Αποτελέσματα
|
Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στις θεμελιώδεις έννοιες της Γεωμετρίας Riemann. Εισάγονται βασικές έννοιες, όπως μετρική Riemann, συνοχή Levi-Civita, ολονομία, τανυστής καμπυλότητας, καμπυλότητα τομής, καμπυλότητα Ricci, αριθμητική καμπυλότητα και πεδία Jacobi. Στο τέλος του μαθήματος περιμένουμε από τον μεταπτυχιακό φοιτητή να έχει κατανοήσει τις έννοιες, τους ορισμούς και τα κύρια θεωρήματα τα οποία αναλύονται στο μάθημα. Επίσης, περιμένουμε ο μεταπτυχιακός φοιτητής να είναι πλέον σε θέση να μελετήσει και να κατανοήσει ερευνητικά άρθρα στην περιοχή της Γεωμετρίας Riemann και της Γεωμετρικής Ανάλυσης.
|
| Γενικές Ικανότητες
|
Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο φοιτητής να αποκτήσει ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων στη Γεωμετρία Riemann και Γεωμετρική Ανάλυση.
|
Περιεχόμενο Μαθήματος
- Μετρικές Riemann, ισομετρίες, σύμμορφες απεικονίσεις.
- Γεωδαισιακές και εκθετική απεικόνιση.
- Παράλληλη μεταφορά και ολονομία.
- Το θεώρημα Hopf-Rinow.
- Τανυστής καμπυλότητας, καμπυλότητα Ricci, αριθμητική καμπυλότητα.
- Yποπολυπτύγματα Riemann.
- Εξισώσεις Gauss-Codazzi-Ricci.
- Πρώτη και δεύτερη μεταβολή μήκους.
- Πεδία Jacobi.
- Θεωρήματα συγκρίσεως.
- To ομοιομορφικό θεώρημα της σφαίρας.
|
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
| Τρόπος Παράδοσης
|
Πρόσωπο με πρόσωπο
|
| Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
|
|
| Οργάνωση Διδασκαλίας
|
| Δραστηριότητα
|
Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
|
| Διαλέξεις
|
39
|
| Αυτοτελής Μελέτη
|
78
|
| Επίλυση Ασκήσεων-Εργασίες
|
70.5
|
| Σύνολο Μαθήματος
|
187.5
|
|
| Αξιολόγηση Φοιτητών
|
Εβδομαδιαίες εργασίες, παρουσιάσεις, γραπτές εξετάσεις στο τέλος των μαθημάτων στα Ελληνικά με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.
|
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.
Riemannian Geometry
General
| School
|
School of Science
|
| Academic Unit
|
Department of Mathematics
|
| Level of Studies
|
Graduate
|
| Course Code
|
ΓΕ3
|
| Semester
|
2
|
| Course Title
|
Riemannian Geometry
|
| Independent Teaching Activities
|
Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5)
|
| Course Type
|
Special Background
|
| Prerequisite Courses
|
-
|
| Language of Instruction and Examinations
|
Greek
|
| Is the Course Offered to Erasmus Students
|
Yes (in English)
|
| Course Website (URL)
|
See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.
|
Learning Outcomes
| Learning outcomes
|
In this lecture we introduce basic notions of Riemannian Geometry. More precisely, we introduce among others the notions of Riemannian metric, Levi-Civita connection, holonomy, curvature operator, Ricci curvature, sectional curvature, scalar curvature and Jacobi field.
|
| General Competences
|
- Work autonomously
- Work in teams
- Develop critical thinking skills.
|
Syllabus
- Riemannian metrics, isometries, conformal maps.
- Geodesics and exponential maps.
- Parallel transport and holonomy.
- Hopf-Rinow’s Theorem.
- Curvature operator, Ricci curvature, scalar curvature.
- Riemannian submanifolds.
- Gauss-Codazzi-Ricci equations.
- 1st and 2nd variation of length.
- Jacobi fields.
- Comparison theorems.
- Homeomorphic sphere theorem.
|
Teaching and Learning Methods - Evaluation
| Delivery
|
Face-to-face
|
| Use of Information and Communications Technology
|
-
|
| Teaching Methods
|
| Activity
|
Semester Workload
|
| Lectures
|
39
|
| Autonomous Study
|
78
|
| Solution of Exercises - Homeworks
|
70.5
|
| Course total
|
187.5
|
|
| Student Performance Evaluation
|
Written final examination, presentations of HomeWorks.
|
Attached Bibliography
See the official Eudoxus site.