Λογισμός Μιγαδικών Συναρτήσεων και Εφαρμογές
Γενικά
| Σχολή
|
Σχολή Θετικών Επιστημών
|
| Τμήμα
|
Τμήμα Μαθηματικών
|
| Επίπεδο Σπουδών
|
Μεταπτυχιακό
|
| Κωδικός Μαθήματος
|
EM8
|
| Εξάμηνο
|
1
|
| Τίτλος Μαθήματος
|
Λογισμός Μιγαδικών Συναρτήσεων και Εφαρμογές
|
| Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες
|
Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5)
|
| Μαθήματος
|
Ειδικού υπόβαθρου
|
| Προαπαιτούμενα Μαθήματα
|
|
| Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
|
Ελληνική
|
| Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus
|
Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
|
| Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
|
Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
|
Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Μαθησιακά Αποτελέσματα
|
Στο τέλος του μαθήματος ο φοιτητής πρέπει να είναι σε θέση να:
- να δώσει μια περιγραφή των εννοιών της αναλυτικής συνάρτησης και της αρμονικής συνάρτησης και να εξηγήσει το ρόλο των εξισώσεων Cauchy-Riemann.
- να εξηγήσει την έννοια της σύμμορφης απεικόνισης, να περιγράψει τη σχέση της με τις αναλυτικές συναρτήσεις και να γνωρίζει τις ιδιότητες και απεικονίσεις των στοιχειωδών συναρτήσεων.
- να περιγράψει τις ιδιότητες των μετασχηματισμών Möbius και να γνωρίζει πώς να τις χρησιμοποιήσουμε στις σύμμορφες απεικονίσεις.
- να υπολογίζει μιγαδικά ολοκληρώματα.
- να χρησιμοποιεί το θεώρημα Cauchy, την ενοποιημένη φόρμουλα Cauchy και μερικές από τις συνέπειές τους.
- να αναλύει απλές ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων σε σχέση με την ομοιόμορφη σύγκλιση, να περιγράφει τις ιδιότητες σύγκλισης μιας δυναμοσειράς και να προσδιορίζει τη σειρά Taylor ή τη σειρά Laurent μιας αναλυτικής συνάρτησης σε μια δεδομένη περιοχή.
- να δίνει μια περιγραφή των βασικών ιδιοτήτων των ιδιομορφιών αναλυτικών συναρτήσεων και να είναι δυνατόν να προσδιορίζεται η τάξη των ριζών και των πόλων, να υπολογίζονται τα ολοκληρωτικά υπολείμματα.
- να χρησιμοποιεί τη θεωρία, τις μεθόδους και τις τεχνικές του μαθήματος για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων.
|
| Γενικές Ικανότητες
|
- Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις
- Λήψη αποφάσεων
- Αυτόνομη εργασία
- Ομαδική εργασία
|
Περιεχόμενο Μαθήματος
|
Μιγαδικοί αριθμοί και η τοπολογία του ℂ. Συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, όρια, συνέχεια και διαφόριση. Οι εξισώσεις Cauchy-Riemann. Αναλυτικές και αρμονικές συναρτήσεις. Σύμμορφες απεικονίσεις. Οι στοιχειώδεις συναρτήσεις από το ℂ στο ℂ, ιδιαίτερα οι μετασχηματισμοί Möbius και η εκθετική συνάρτηση. Λύση προβλημάτων συνοριακών τιμών στο επίπεδο για την εξίσωση Laplace χρησιμοποιώντας σύμμορφες απεικονίσεις. Μιγαδική ολοκλήρωση. Το θεώρημα Cauchy. Η αρχή μεγίστου για αναλυτικές και αρμονικές συναρτήσεις. Η φόρμουλα του Poisson. Ομοιόμορφη σύγκλιση και αναλυτικότητα. Δυναμοσειρές. Σειρές Taylor και Laurent με εφαρμογές. Ρίζες και απομονωμένες ιδιομορφίες. Υπολογισμός υπολοίπων με εφαρμογές. Το θεώρημα Rouché. Σύντομη σύνδεση με σειρές και ολοκληρώματα Fourier. Το πρόβλημα Riemann-Hilbert.
|
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
| Τρόπος Παράδοσης
|
Στην τάξη
|
| Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
|
|
| Οργάνωση Διδασκαλίας
|
| Δραστηριότητα
|
Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
|
| Διαλέξεις
|
39
|
| Αυτοτελής Μελέτη
|
78
|
| Επίλυση Ασκήσεων - Εργασίες
|
70.5
|
| Σύνολο Μαθήματος
|
187.5
|
|
| Αξιολόγηση Φοιτητών
|
- Εβδομαδιαίες ασκήσεις
- Τελική εργασία
|
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.
Calculus of Complex Functions and Applications
General
| School
|
School of Science
|
| Academic Unit
|
Department of Mathematics
|
| Level of Studies
|
Graduate
|
| Course Code
|
EM8
|
| Semester
|
1
|
| Course Title
|
Calculus of Complex Functions and Applications
|
| Independent Teaching Activities
|
Lectures (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 7.5)
|
| Course Type
|
Special Background
|
| Prerequisite Courses
|
-
|
| Language of Instruction and Examinations
|
Greek
|
| Is the Course Offered to Erasmus Students
|
Yes (in English)
|
| Course Website (URL)
|
See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.
|
Learning Outcomes
| Learning outcomes
|
By the end of the course the student should be able to:
- give an account of the concepts of analytic function and harmonic function and to explain the role of the Cauchy-Riemann equations.
- explain the concept of conformal mapping, describe its relation to analytic functions, and know the mapping properties of the elementary functions.
- describe the mapping properties of Möbius transformations and know how to use them for conformal mappings.
- define and evaluate complex contour integrals.
- give an account of and use the Cauchy integral theorem, the Cauchy integral formula and some of their consequences.
- analyze simple sequences and series of functions with respect to uniform convergence, describe the convergence properties of a power series, and determine the Taylor series or the Laurent series of an analytic function in a given region.
- give an account of the basic properties of singularities of analytic functions and be able to determine the order of zeros and poles, to compute residues and to evaluate integrals using residue techniques.
- use the theory, methods and techniques of the course to solve mathematical problems.
|
| General Competences
|
- Adapting to new situations
- Decision-making
- Working independently
- Team work
|
Syllabus
|
Complex numbers, topology in ℂ. Functions of one complex variable, limits, continuity and differentiability. The Cauchy-Riemann equations. Analytic and harmonic functions. Conformal mappings. Elementary functions from ℂ to ℂ, in particular Möbius transformations and the exponential function. Solution of boundary value problems in the plane for the Laplace equation using conformal mappings. Complex integration. Cauchy's integral theorem. The maximum principle for analytic and harmonic functions. Poisson's integral formula. Uniform convergence and analyticity. Power series. Taylor and Laurent series with applications. Zeros and isolated singularities. Residue calculus with applications. Rouché's theorem. Briefly about connections with Fourier series and Fourier integrals. The Riemann-Hilbert problem.
|
Teaching and Learning Methods - Evaluation
| Delivery
|
In class
|
| Use of Information and Communications Technology
|
-
|
| Teaching Methods
|
| Activity
|
Semester Workload
|
| Lectures
|
39
|
| Self study
|
78
|
| Homework - Projects
|
70.5
|
| Course total
|
187.5
|
|
| Student Performance Evaluation
|
- Weekly assignments
- Final project
|
Attached Bibliography
See the official Eudoxus site.