Undergraduate Compulsory 1018
Γενικά
| Σχολή | Σχολή Θετικών Επιστημών |
|---|---|
| Τμήμα | Τμήμα Μαθηματικών |
| Επίπεδο Σπουδών | Προπτυχιακό |
| Κωδικός Μαθήματος | MAY413 |
| Εξάμηνο | 4 |
| Τίτλος Μαθήματος |
Μετρικοί Χώροι και η Τοπολογία τους |
| Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες | Διαλέξεις, παρουσιάσεις και ασκήσεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 5, Πιστωτικές Μονάδες: 7.5) |
| Τύπος Μαθήματος | Επιστημονικής Περιοχής |
| Προαπαιτούμενα Μαθήματα | |
| Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων | Ελληνική |
| Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus | Ναι (στην Αγγλική γλώσσα) |
| Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL) | Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. |
Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Μαθησιακά Αποτελέσματα | Η Τοπολογία είναι ένα ισχυρό εργαλείο έρευνας και έκφρασης σ’ όλους τους κλάδους της Μαθηματικής Επιστήμης. Τα τελευταία μάλιστα χρόνια η Τοπολογία χρησιμοποιείται όλο και περισσότερο στη δημιουργία μαθηματικών μοντέλων που εξυπηρετούν ερευνητικά εφαρμοσμένους κλάδους των Θετικών Επιστημών, όπως η Οικονομία, η Μετεωρολογία, τα Ασφαλιστικά Μαθηματικά, η Επιδημιολογία στην Ιατρική κ.τ.λ.
|
|---|---|
| Γενικές Ικανότητες |
|
Περιεχόμενο Μαθήματος
Μετρικοί χώροι, ορισμός, παραδείγματα, βασικές ιδιότητες. Μετρικές σε διανυσματικούς χώρους που ορίζονται από νόρμες. Διάμετρος συνόλου, απόσταση συνόλων. Ακολουθίες σε μετρικούς χώρους, υπακολουθίες, σύγκλιση ακολουθιών. Συναρτήσεις μετρικών χώρων, συνέχεια συναρτήσεων, αρχή μεταφοράς συγκλινουσών ακολουθιών, ομοιόμορφη συνέχεια συναρτήσεων. Ανοιχτές μπάλες, κλειστές μπάλες, εσωτερικό, κλειστή θήκη και σύνορο συνόλου, σημεία συσσώρευσης συνόλου και παράγωγο σύνολο. Η τοπολογία ενός μετρικού χώρου, η έννοια του τοπολογικού χώρου. Βασικές (ή Cauchy) ακολουθίες, πλήρεις μετρικοί χώροι. Αρχή της συστολής (Θεώρημα Σταθερού σημείου του Banach). Ολικά φραγμένοι μετρικοί χώροι, συμπαγείς χώροι. Ισοδύναμες μορφές της συμπάγειας μετρικών χώρων. Ιδιότητες των συμπαγών χώρων. Διαχωρίσιμοι μετρικοί χώροι. Συνεκτικότητα σε μετρικούς χώρους, ιδιότητες των συνεκτικών συνόλων, συνεκτικές συνιστώσες.
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
| Τρόπος Παράδοσης | Πρόσωπο με πρόσωπο | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών | Χρήση ειδικού λογισμικού (TEX, Mathematica, κλπ) για την παρουσίαση εργασιών και ασκήσεων | ||||||||||
| Οργάνωση Διδασκαλίας |
| ||||||||||
| Αξιολόγηση Φοιτητών | Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου σε θέματα της θεωρίας του μαθήματος, καθώς και σε ασκήσεις-προβλήματα σχετικά με τη θεωρία. |
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος. Συγγράμματα και άλλες πηγές εκτός της υπηρεσίας Εύδοξος:
General
| School |
School of Science |
|---|---|
| Academic Unit |
Department of Mathematics |
| Level of Studies |
Undergraduate |
| Course Code |
MAY413 |
| Semester | 4 |
| Course Title |
Metric Spaces and their Topology |
| Independent Teaching Activities |
Lectures (Weekly Teaching Hours: 5, Credits: 7.5) |
| Course Type |
General Background |
| Prerequisite Courses | - |
| Language of Instruction and Examinations |
Greek |
| Is the Course Offered to Erasmus Students |
Yes (in English) |
| Course Website (URL) | See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina. |
Learning Outcomes
| Learning outcomes |
Topology is a powerful tool for research and expression in all branches of Mathematical Science. In the last few years, Topology has been increasingly used in the creation of mathematical models that serve research applied disciplines such as Economics, Meteorology, Insurance Mathematics, Epidemiology in Medicine, etc.
|
|---|---|
| General Competences |
|
Syllabus
Metric spaces, definition, examples, basic properties. Metrics in vector spaces induced by norms. Diameter of a set, distance of sets. Sequences in metric spaces, subsequences, convergence of sequences. Functions between metric spaces, continuous functions, characterization of continuity via sequences, uniform continuity of functions. Open balls, closed balls, interior, closed hull and boundary, accumulation points and derived set. The topology of a metric space, the concept of a topological space. Basic (or Cauchy) sequences, complete metric spaces. Principle of contraction (Banach's Fixed Point Theorem). Totally bounded metric spaces, compact spaces. Equivalent forms of compactness of metric spaces. Properties of compact spaces. Separable metric spaces. Connectedness in metric spaces, properties of connected sets, connected components.
Teaching and Learning Methods - Evaluation
| Delivery |
Face-to-face | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Use of Information and Communications Technology |
Use of ICT for presentation of essays and assignments | ||||||||||
| Teaching Methods |
| ||||||||||
| Student Performance Evaluation |
Written examination at the end of the semester including theory and problems-exercises. |
Attached Bibliography
See the official Eudoxus site. Books and other resources, not provided by Eudoxus:
- K. W. Anderson and D. W. Hall, Sers, Sequences and Mappings, John Wiley and Sons, Inc. New York 1963.
- V. Arkhangel’skii and V.I. Ponomarev, Fundamentals of General topology, D. Reidel Publishing Company, 1983.
- G. Buskes and A. van Rooij, Topological Spaces, Springer-Verlag, New York, 1197.
- D. C. J. Burgess, Analytical Topology, D. Van Nostrand Co. Ltd., London, 1966.
- N. L. Carothers, Real Analysis, Cambridge University Press, 2000.
- E. Copson, Metric Spaces, Cambridge University Press, 1968.
- J. Diedonne, Foundations of Modern Analysis, Academic Press, New York, 1966.
- J. Dugudji, Topology, Allyn and Bacon Inc., Boston, 1978.
- W. Franz, General Topology, G. Harrap and Co. Ltd. London 1965.
- J. R. Giles, Introduction to the Analysis of Metric Spaces, Cambridge University Press, 1989.
- S.-T. Hu, Introduction to General Topology, Holden-Day Inc. San Francisco, 1966.
- T. Husain, Topology and Maps, Plenum Press, New York, 1977.
- K. D. Joshi, Introduction to General Topology, Wiley Eastern Limited, New Delhi, 1986.
- Ι. Kaplansky, Set Theory and Metric Spaces, Allyn and Bacon Inc., Boston, 1975.
- R. L. Kasriel, Undergraduate Topology, W. B. Saunders Co. Philadelphia, 1971.
- J. L. Kelley, General Topology, D. Van Nostrand Co. Inc., Toronto 1965.
- S. Lipschutz, Theory and Problems of General Topology, Schaum’s Outline Series, New York, 1965.
- Mwndelson, Introduction to Topology, Prentice-Hall Inc. New Jersey, 1975.
- M. G. Murdeshuar, General Topology, Wiley Eastern Limited, New Delhi, 1986.
- M. H. A. Newman, Elements of the Topology of Plane Sets of Points, Cambridge University Press, 1964.
- Α. W. Schurle, Topics in Topology, North Holland, New York, 1979.
- Β. Στάϊκος, Μαθήματα Μαθηματικής Αναλύσεως Μέρος Ι και Μέρος ΙΙ, Ιωάννινα, 1981.