Γενικά
| Σχολή
|
Σχολή Θετικών Επιστημών
|
| Τμήμα
|
Τμήμα Μαθηματικών
|
| Επίπεδο Σπουδών
|
Προπτυχιακό
|
| Κωδικός Μαθήματος
|
MAE825
|
| Εξάμηνο
|
8
|
| Τίτλος Μαθήματος
|
Γεωμετρία Riemann
|
| Αυτοτελείς Διδακτικές Δραστηριότητες
|
Διαλέξεις (Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: 3, Πιστωτικές Μονάδες: 6)
|
| Τύπος Μαθήματος
|
Ειδίκευσης
|
| Προαπαιτούμενα Μαθήματα
|
| Γλώσσα Διδασκαλίας και Εξετάσεων
|
Ελληνική
|
| Τρόπος Διεξαγωγής Μαθήματος
|
Δια ζώσης (100%)
|
| Το Μάθημα Προσφέρεται σε Φοιτητές Erasmus
|
Ναι (στην Αγγλική γλώσσα)
|
| Ηλεκτρονική Σελίδα Μαθήματος (URL)
|
Δείτε το eCourse, την Πλατφόρμα Ασύγχρονης Εκπαίδευσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.
|
Μαθησιακά Αποτελέσματα
| Μαθησιακά Αποτελέσματα
|
Ο βασικός σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στις θεμελιώδεις έννοιες της Γεωμετρίας Riemann. Εισάγονται βασικές έννοιες, όπως μετρικές Riemann, συνοχή Levi-Civita, τανυστής καμπυλότητας, καμπυλότητα Ricci και διαφορικές μορφές σε πολυπτύγματα με σύνορο. Επίσης, εισάγονται τα υποπολυπτύγματα Riemann και μελετάμε τις θεμελιώδεις εξισώσεις Gauss-Codazzi-Ricci. Το μάθημα ολοκληρώνεται με την παρουσίαση ενός ολικού αποτελέσματος που συνδέει Γεωμετρία και Τοπολογία· του θεωρήματος της σφαίρας. Στο τέλος του μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τις έννοιες, τους ορισμούς και τα κύρια θεωρήματα τα οποία αναλύονται στο μάθημα.
|
| Γενικές Ικανότητες
|
Το μάθημα αποσκοπεί στο να μπορεί ο φοιτητής να αποκτήσει ικανότητα στην ανάλυση και σύνθεση βασικών γνώσεων στη σύγχρονη Γεωμετρία Riemann.
|
Περιεχόμενο Μαθήματος
- Ο τανυστής καμπυλότητας.
- Το θεώρημα του Schur.
- Διαφορικές μορφές.
- Ολοκλήρωση σε πολυπτύγματα.
- Το θεώρημα του Stokes.
- Υποπολυπτύγματα Riemann.
- Εξισώσεις Gauss-Codazzi-Ricci.
- Πλήρη πολυπτύγματα.
- Το θεώρημα Hopf-Rinow.
- Θεωρήματα συγκρίσεως.
- Το θεώρημα της σφαίρας.
|
Διδακτικές και Μαθησιακές Μέθοδοι - Αξιολόγηση
| Τρόπος Διδασκαλίας
|
Πρόσωπο με πρόσωπο.
|
| Τρόπος και Συχνότητα Επικοινωνίας με Φοιτητές
|
Η επικοινωνία με τους φοιτητές γίνεται:
- Μέσω email.
- Δια ζώσης στο γραφείο.
- Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων.
Η συχνότητα επικοινωνίας με τους φοιτητές καθορίζεται από τις ανάγκες των φοιτητών.
|
| Διασφάλιση Τρόπου Επικοινωνίας Μεταξύ Φοιτητών
|
Συνέργεια στα πλαίσια της παράδοσης του μαθήματος.
|
| Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
|
|
| Απαιτούμενος Τεχνολογικός Εξοπλισμός και Γνώσεις Τεχνολογίας
|
Δεν απαιτείται τεχνολογικός εξοπλισμός, καθώς παρέχεται. Δεν απαιτούνται εξειδικευμένες γνώσεις τεχνολογίας.
|
| Πολιτική Μαθήματος για τη Λογοκλοπή και Εργαλεία Ελέγχου Λογοκλοπής
|
Η λογοκλοπή απαγορεύεται ρητά και τιμωρείται κλιμακούμενα, ανάλογα με την επανάληψη της χρήσης της. Ελέγχεται, δε, με σχετικά εργαλεία όπως το "Turnitin", που παρέχει η Βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου.
|
| Πολιτική Μαθήματος για τη Χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης
|
Επιτρέπεται η χρήση Τεχνητής Νοημοσύνης κατόπιν άδειας από τον διδάσκοντα/τη διδάσκουσα.
|
| Οργάνωση Διδασκαλίας
|
| Δραστηριότητα
|
Φόρτος Εργασίας Εξαμήνου
|
| Διαλέξεις (13Χ3)
|
39
|
| Αυτοτελής Μελέτη
|
78
|
| Επίλυση Ασκήσεων - εργασίες
|
33
|
| Σύνολο Μαθήματος
|
150
|
|
| Αξιολόγηση Φοιτητών
|
Εβδομαδιαίες εργασίες, παρουσιάσεις, γραπτές εξετάσεις στο τέλος των μαθημάτων με ερωτήσεις και θέματα ανάπτυξης και επίλυσης προβλημάτων.
|
Συνιστώμενη Βιβλιογραφία
Δείτε την υπηρεσία Εύδοξος.
Riemannian Geometry
General
| School
|
School of Science
|
| Academic Unit
|
Department of Mathematics
|
| Level of Studies
|
Undergraduate
|
| Course Code
|
MAE825
|
| Semester
|
8
|
| Course Title
|
Riemannian Geometry
|
| Independent Teaching Activities
|
Lectures, laboratory exercises (Weekly Teaching Hours: 3, Credits: 6)
|
| Course Type
|
Special Background
|
| Prerequisite Courses
|
-
|
| Language of Instruction and Examinations
|
Greek, English
|
| Mode of Course Delivery
|
Face-to-face (100%)
|
| Is the Course Offered to Erasmus Students
|
Yes
|
| Course Website (URL)
|
See eCourse, the Learning Management System maintained by the University of Ioannina.
|
Learning Outcomes
| Learning outcomes
|
The main task is to present the fundamental concepts of Riemannian geometry, i.e., the concepts of curvatures and differential form on manifolds with boundary. Moreover, we will introduce the notions of Riemannian submanifold and will investigate the Gauss-Codazzi-Ricci equations. The lecture will be completed with the presentation of the sphere theorem, a deep and important result that connects geometry with topology. On the completion of the course we expect that the student fully understand the main theorems that were presented during the lectures.
|
| General Competences
|
- Working independently
- Decision-making
- Production of free, creative and inductive thinking
- Criticism and self-criticism
|
Syllabus
|
Riemannian metrics, curvature operator, Schur's theorem, differential forms, integration on manifolds, Stokes' theorem, Riemannian submanifolds, sphere theorem.
|
Teaching and Learning Methods - Evaluation
| Mode of Instruction
|
Classroom (face-to-face).
|
| Mode and Frequency of Communication with Students
|
Communication with students takes place through:
- Email.
- In-person meetings during office hours.
- During lectures.
The frequency of communication with students is determined by their needs.
|
| Ensuring Communication Among Students
|
Collaboration and interaction are encouraged within the context of course delivery.
|
| Use of Information and Communications Technology
|
-
|
| Required Technological Equipment and Technology Skills
|
No technological equipment is required from students, as all necessary equipment is provided. No specialized technology skills are required.
|
| Course Policy on Plagiarism and Plagiarism Detection Tools
|
Plagiarism is strictly prohibited and is subject to progressively stricter penalties in the event of repeated offenses. It is monitored using plagiarism detection tools such as Turnitin, which is provided by the University Library.
|
| Course Policy on the Use of Artificial Intelligence
|
The use of Artificial Intelligence is permitted only with the prior approval of the instructor.
|
| Teaching Methods
|
| Activity
|
Semester Workload
|
| Lectures (13X3)
|
39
|
| Working independently
|
78
|
| Exercises-Homeworks
|
33
|
| Course total
|
150
|
|
| Student Performance Evaluation
|
Weekly exercises and homeworks, presentations, final written exam in Greek (in case of Erasmus students in English) which includes resolving application problems.
|
Attached Bibliography
See the official Eudoxus site.